413. Arithmetic Slices

一、题目简述

一个序列被称为是算术的，如果它至少包含三个元素，并且序列中任意两个相邻元素之差相同。
例如，以下序列是算术的：

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

以下序列不是算术的：

1, 1, 2, 5, 7

一个下标从零开始的数组A包含N个元素。使用整数对(P,Q)，0≤P<Q<N，来表示数组的一个片段。

数组的一个片段(P,Q)是算术的，如果满足：A[P],A[P+1],…,A[Q-1],A[Q]是算术的，并且P+1<Q。

函数返回数组A中算术片段的个数。
例如：
A = [1, 2, 3, 4]
返回: 3,该数组含有的算术序列如下：[1, 2, 3], [2, 3, 4] 和 [1, 2, 3, 4]。

函数原型：
int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A)

二、编程思路

该题可以使用动态规划思路进行求解，提供两种解题思路，第一种思路的时间复杂度为O(N2)，第二种思路的时间复杂度为O(N)。

2.1 简单思路

状态定义：令dp[i][j]表示数组A的A(i,j)片段是否为算术序列。
状态转移方程：

• 若i=j-2，则dp[i][j]=(2*A[i+1]==A[i]+A[j]);
• 若i<j-2，则dp[i][j]=dp[i][j-1]&&(2*A[j-1]==A[j]+A[j-2]);该状态转移方程较为容易理解，表示如果片段A(i,j-1)为算术序列，并且新加入的元素A[j]能与之前序列构成算术序列，则片段A(i,j)为算术的。之后统计A所有片段中算术片段的个数即可。

2.2 升级思路

由以上分析可以看出，2.1中的思路其实枚举了A的所有片段，之后判断其是否为算术片段。并且在递推式dp[i][j]=dp[i][j-1]&&(2*A[j-1]==A[j]+A[j-2]);中并未用到i的信息，因此可以考虑将问题简化为O(N)的复杂度。

• 状态定义：令dp[i]表示以i结尾的最长算术片段的长度。并且初始值均为2。
• 状态转移方程：若2∗A[i-1]==A[i]+A[i-2]，则dp[i]=dp[i-1]+(2∗A[i-1]==A[i]+A[i-2])；否则，dp[i]=2;
• 对于一个长度为len(len>2)的算术片段，其包含的子算术片段的个数为：(len−1)∗(len−2)2
• 据此，避免重复情况，如，序列A={1, 2 ,3 ,4}，其dp={2, 2, 3, 4}，只应计算dp[3]=4的子片段数量。求出A中算术子片段的个数即可。

三、程序设计

3.1 简单思路

class Solution {public:    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {        int size=A.size();        if(size<3) return 0;        vector<vector<bool> >dp(size,vector<bool>(size,false));        int sum=0;        for(int i=0;i<size;i++){            for(int j=i+2;j<size;j++){                if(j==i+2) dp[i][j]=(2*A[i+1]==A[i]+A[j]);                else{                    dp[i][j]=dp[i][j-1]&&(2*A[j-1]==A[j]+A[j-2]);                }                if(dp[i][j]) sum++;            }        }        return sum;    }};

3.2 升级思路

class Solution {public:    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {        int size=A.size();        if(size<3) return 0;        int start=0,sum=0;        for(int i=2;i<size;i++){            int len=i-start+1;            if(2*A[i-1]==A[i-2]+A[i]){                if(i==size-1 && len>2){                    sum+=(len-1)*(len-2)/2;                }            }else{                len--;                if(len>2) sum+=(len-1)*(len-2)/2;                start=i-1;            }        }        return sum;    }};

四、参考资料

无