补码和相关性质

一、补码与实际值的映射关系

补码是计算机中数值的一种编码方式，补码的定义可以理解为：

已知十进制整数u，则u的补码U为：

其中w表示补码的位数，且w大于|u|的二进制位数。当u为非负值时，u的补码是其本身。u为负数时，u的补码U满足：

例如：求-2的补码，补码用4位表示。

-2的补码为：U=2^4-2=16-2=14=[1110]。14用二进制表示为1110，即-2的补码为1110。

从补码到十进制实际值的映射关系为：

若补码U的二进制位数为：,则U表示的十进制实际值u为：

补码和实际值之间满足一一映射关系，即当补码位数w一定时，任意补码唯一对应实际值，任意实际值唯一对应补码。

证明一一映射关系分为3步，1.证明从u到U是一对一映射，2.证明从U到u是一对一映射，3.证明u的集合和U的集合元素个数相等，可使用反证法证明。

假设用8位补码表示数值，其补码可表示的十进制数值范围为[-128,127]。0的补码是0，-128的补码是0x80。128＝2^7, -128的补码为2^8-2^7=0x80。0x80又是128的二进制表示。注意，有符号数的二进制原码以最高位为符号位，0存在+0和-0，-0的原码与-128的补码表示相同，但原码表示和补码表示是两种不同的数值映射，不存在谁依赖谁的关系。

二、补码的性质

1、w位的补码对应的实际值的范围是。

       当补码位数w一定时，补码可表示的实际值最小整数TMin和最大整数TMax之间总存在关系：TMin = -TMax-1，其中TMax>0。可使用U到u的映射公式和二项式定理证明此关系。

2、补码表示的实际值正负

       补码有一个重要的特性：任何负数的补码U的最高位总是1，正数和零的补码最高位总是0，反之亦然。

3、补码的相关运算

（1）加法

                    已知x+y=z，则 [x]补＋[y]补＝[z]补。不溢出的情况下成立，即z可用w位补码表示。

（2）乘法

                    已知x*y=z不溢出，则([x]补*[y]补)mod(2^w)=[z]补，即[x]补*[y]补＝[z]补＝[x*y]补。

（3）除法

                    已知z=x/y，则[z]补＝[x]补/[y]补。

三、计算机中补码运算的本质：

       计算机底层不区分无符号数和补码数，可认为其运算全部当作无符号数处理，即补码值全部当作无符号数，并对无符号数进行运算。因实际值u和补码U总保持一一映射关系，由补码性质可知，在不溢出的情况下这种运算方式总是正确的。

 C标准库中补码表示的陷阱

       我们注意到，C标准库中表示INT_MIN时，实用如下形式：

#define INT_MAX    2147483647#define INT_MIN    ( -INT_MAX -1 )

为什么不表示为#define INT_MIN  -2147483648。原因在于-2147483648的补码默认不直接用32位表示，而是表示为更大位数的补码。而int类型补码是32位的，通过加法运算使之保持位数不变，可使INT_MIN的补码保持32位。

四、补码的快速求解

1、在已知原码的情况下快速求出补码

原码的最高位(符号位)保持不变，其余位数取反并加1，舍去溢出值。例如：-2的8位原码是0x82，即1000‘0010，则-2的补码为：000’0010取反111‘1101，加1变为111’1110，补上符号位变为1111‘1110，这与通过定义计算的补码相同。再如，已知8位原码为1000‘0000，则000’0000取反111‘1111，加1变为000’0000，最后补全符号位变为1000‘0000。

原码除符号位以外其余位数不全为0时，补码计算时不会溢出，唯有当除符号位以外的其余位数全部为0，即原码有形式：1000...00时，才会产生溢出。

2、补码与无符号数的关系

已知实际值u <－>  二进制补码 = 无符号原码  <－> 无符号数Ux，在二进制值不变的情况下，实际值u与无符号数Ux的关系为：

该关系的证明如下：若u为负数，则U补码的最高位一定为1，那么：

而实际值u的补码U为：

即满足关系：。当u为非负数时，满足Ux＝U=x。

3、补码位数的扩展

        非负数的补码仍是正数，因此非负数补码的扩充只需要在高位补零。负数的补码扩充需要在高位补1。为什么：

根据补码的定义：U=2^w -|u|，当u一定时，w变化，假设w1为扩充后的位数，则w1>w。

那么，U1=2^w1-|u|，U1-U=2^w1-2^w =[111...111'0000...0]，从第w+1位开始到w1位全部为1。

4、补码加法的溢出

       w位补码进行加法时，因溢出可能出现3种情况，对应加法运算结果add为：

对应不溢出、正溢出和负溢出的情况。

5、补码乘法的溢出。

      补码乘法时，溢出的情况比较复杂，计算机中补码乘法的结果（包括溢出和不溢出情况）可用如下公式计算。

对于实际值x和y，对应w位补码Ux和Uy，其Ux和Uy在计算机中相乘的结果为：

参考文献《深入理解计算机系统》（第三版）

                《计算机组成原理》（唐朔飞第二版)