图 基本概念和性质

图是计算机运用中常用到的数据结构，特别是在现实应用中的应用愈发的广泛。比如地图、物流，交通等等。关于图的理论和应用内容很多，而算法也是是层出不穷，图的算法比较的难，实现起来也不太容易。下面就先介绍一些关于图的基本概念和性质。

1、基本概念

图：简单的说，图是一个用线或边连接在一起的顶点或节点的集合，严格的说，图是有限顶点V和边E的有序对。

图的表示：一般使用圆圈表示顶点，使用线段表示边，一条边连接两个不同的顶点。有些边是带方向的称为有向边，当顶点v到u含有一条有向边，就画一个箭头从v指向u，使用元组（v，u）表示；而没有方向的边称为无向边，当顶点v到u含有一条有向边，就画一条线段从v指向u，使用元组（v，u）表示。例如下面分别是有向图和无向图。

图根据边的分类分为有向图和无向图，有向图的边是有向边，它就像公路的单行道一样，只能从一个方向到另一个方向。无向图的边是无向边，当然它就像双向车道一样可以互相到达，而且两个顶点是没有区别的。

当且仅当（u，v）是图的边，称顶点v和u是邻接的。边（u，v）关联于顶点u和v。对于无向图这种邻接和关联是对等的，而有向图是单向的，它仅仅从u到v。

权：在图的一些应用中，可能要为每条边赋予一个表示大小的值，这个值就称为权。例如从城市A到城市B存在一条公路，而可以使用权表示这条公路的距离。

路径：一个顶点序列i1，i2........ik是图的一条路径，当且仅当边（i1，i2）（i2，i3）.........(ik-1,ik)都在图中。如果除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余的顶点均不相同，那么这条路径称为简单路径。

连通图：设图G是无向图，当且仅当G的每一对顶点之间都有一条路径，则称G是连通图。

子图：如果图H的顶点和边的集合是图G的子集，那么称图H是图G的子图。

生成树：如果图H是图G的子图，且他们的顶点集合相同，并且H是没有环路的无向连通图（即一棵树），则称H是G的一棵生成树。

二分图：图G的顶点被分为两个子集，而且每条边只能从一个子集到另一个子集。例如：

强连通图：图G是一个有向图，当且仅当每一对不同的顶点u，v，从u到v和v到u都有一条有向路径。

2、图的性质

在无向图中，与一个顶点关联的边数称为该顶点的度，一般使用d表示，设G=（V,E)是一个无向图，令n=|V|,e=|E|，

则每个顶点度数之和等于2e；0<=e<=n(n-1)/2。

在有向图中，一个顶点的入度是指关联至该顶点的边数，顶点的出度是指，关联于该顶点的边数。设G=（V,E)是一个无向图，令n=|V|,e=|E|，则图G的每个节点的出度之和和入度之和相等等于e，0<=e<n(n-1)/2