Median of Two Sorted Arrays

/*Description:There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sortedarrays. The overall run time complexity should be O(log(m + n)).给定两个已经排序好的数组，找到两者的中值。*//*Parse:首先把这个问题可以化成一般形式，寻找两个已序数组中所有元素的第k大元素。1、最直接的解法，合并两个数组然后求第k大的元素。但是我们仅仅需要第k大的元素，不需要排序这么“昂贵”的操作。2、可以用一个计数器，记录当前已经找到第m大的元素了。同时使用两个指针pA和pB，分别指向A和B数组的第一个元素，如数组A当前元素小，则pA++，同时m++；如数组B当前元素小，则pB++，同时m++；最终当m等于k时，得到答案。但是当k接近m+n时，与第一种解法复杂度相同。3、假设A和B元素个数都大于k/2，将A的第k/2个元素和B的第k/2个元素比较，有三种情况（为了简化先假设k为偶数，结论对奇数也成立）A[k/2-1] == B[k/2-1]A[k/2-1] > B[k/2-1]A[k/2-1] < B[k/2-1]当A[k/2-1] < B[k/2-1]时，A[k/2-1]不大于A与B合并后的第k大元素。可以删除A数组的这k/2个元素。同理，A[k/2-1] > B[k/2-1]时，可以删除B数组的这k/2个元素。当A[k/2-1] == B[k/2-1]时，说明找到了第k大的元素，直接返回A[k/2-1]或B[k/2-1]。*/// LeetCode, Median of Two Sorted Arrays// 时间复杂度 O(log(m+n)) 空间复杂度 O(log(m+n))

#include <vector>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int find_kth(vector<int>::const_iterator A, int m, vector<int>::const_iterator B, int n, int k){    if (m > n)        return find_kth(B, n, A, m, k);    if (m == 0)        return *(B + k - 1);    if (k == 1)        return min(*A, *B);    int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;    if (*(A + ia - 1) < *(B + ib - 1))        return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);    else if (*(A + ia - 1) > *(B + ib - 1))        return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);    else        return A[ia - 1];}double findMedianSortedArrays(const vector<int>& A, const vector<int>& B){    const int m = A.size();    const int n = B.size();    int total = m + n;    if (total & 0x1) //奇偶判断        return find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1);    else        return (find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2) + find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1)) / 2.0;}int main(){    vector<int> A = {1,2,3,5}, B = {2,4,5,6};    cout << findMedianSortedArrays(A, B) << endl;    return 0;}

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/*Description:There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sortedarrays. The overall run time complexity should be O(log(m + n)).给定两个已经排序好的数组，找到两者的中值。*//*Parse:    这是一道非常经典的题，这题更通用的形式是，给定两个已排序好的数组，找到两者所有元素中第k大的元素。O(m+n)的解法比较直观，直接merge两个数组，然后求第k大的元素。    不过我们仅仅需要第k大的元素，是不需要“排序”这么昂贵的操作的。可以用一个计数器，记录记录当前已经找到第m大的元素了。同时使用两个指针pA和pB，分别指向A和B数组的第一个元素，使用类似于merge sort 的原理。如果数组A当前元素小，则pA++，同时m++；如数组B当前元素小，则pB++，同时m++；最终当m等于k时，得到答案，O(k)时间，O(1)空间。    但是当k接近m+n时，这个方法还是O(m+n)的。有没有更好的方案呢？    我们可以考虑从k入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第k大元素之前的元素，那么我们就只需要进行k次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于A和B都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。    假设A和B的元素个数都大于k/2，我们将A的第k/2个元素(即A[k/2-1])和B的第k/2个元素(即B[k/2-1])比较，有以下三种情况（为了简化这里，先假设k为偶数，所得结论对于k是奇数也成立）:    A[k/2-1] == B[k/2-1]    A[k/2-1] > B[k/2-1]    A[k/2-1] < B[k/2-1]    1).当A[k/2-1] < B[k/2-1]时，意味着A[0]到A[k/2-1]的肯定在A + B (A并B)的top k 元素的范围内。换句话说，A[k/2-1]不可能大于A + B的第k大元素。因此，我们可以放心的删除A数组的这k/2个元素。    2).同理，当A[k/2-1] > B[k/2-1]时，可以删除B数组的k/2个元素。    3).当A[k/2-1] == B[k/2-1]时，说明找到了第k大的元素，直接返回A[k/2-1]或B[k/2-1]即可。    因此，我们可以写一个递归函数，那么函数什么时候应该终止呢？        当A或B是空时，直接返回B[k-1]或A[k-1];        当k=1时，返回min(A[0],B[0]);        当A[K/2-1] == B[k/2-1]时，返回A[k/2-1]或B[k/2-1]*/// LeetCode, Median of Two Sorted Arrays// 时间复杂度 O(log(m+n)) 空间复杂度 O(log(m+n))class Solution {    public:        double findMedianSortedArrays(const vector<int>& A, const vector<int>& B) {            const int m = A.size();            const int n = B.size();            int total = m + n;            if (total & 0x1)            return find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1);            else            return (find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2)            + find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1)) / 2.0;        }    private:        static int find_kth(std::vector<int>::const_iterator A, int m,        std::vector<int>::const_iterator B, int n, int k) {            //always assume that m is equal or smaller than n            if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k);            if (m == 0) return *(B + k - 1);            if (k == 1) return min(*A, *B);            //divide k into two parts            int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;            if (*(A + ia - 1) < *(B + ib - 1))            return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);            else if (*(A + ia - 1) > *(B + ib - 1))            return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);            else            return A[ia - 1];        }};