BZOJ 1257 同除等价类 + 等比数列

题解:
x % i = x - [x / i] * i
而x / i 在一段区间值不变
这段区间是令t = x / i;
(x / (t + 1), x / t]

首先对于[ 1, [sqrt(n)] 记为L
这个集合里的元素除以n结果都是不同的
证明:
若存在两个相邻元素a, b(设 a = b + 1)除n结果相同蛇结果为c(c >= [sqrt(n)])那么
n = a * c + a1(a1 < a)
n = b * c + b1(b1 < b)
所以 c = b1 - a1
|b1 - a1| < max(a1, b1) < [sqrt(n)]

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其次对于L的每一个元素t, 在[1, n]中必存在除n为t的元素, 且均大于[sqrt(n)]
证：
n = [n / t] * t + left[left < t]
又因为[n / t] > t
所以n / [n / t] = t
另外一个结论就是除n为t的最大数[n / t], 记为r
同理除n为t + 1最大数为[n / (t + 1)]记为l
所以除n为t的数集为(l, r], 为t除n的等价类

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所以， 枚举i -> [1, sqrt(n)]当然要满足i <= k
减去左边的等价类(n / i除等价类)
然后判断右边的等价类(i除等价类), 处理
ans = n * k - 等价类的和

code：
刚开始找的是51nod上一题, n最大1e12要用大大数(结果交不了了）
所以下面有个java版本， 跑了一秒多

import java.util.*;import static java.lang.System.*;import java.math.*;//import public class Main{    public static void main(String[] args){        Scanner in = new Scanner(System.in);        long k = in.nextLong();        long n = in.nextLong();        BigInteger t = BigInteger.valueOf(n);        out.println((t.multiply(BigInteger.valueOf(k))).subtract(solve(n, k)));        in.close();    }    public static BigInteger solve(long t, long k){        BigInteger ret = BigInteger.valueOf(0);        //boolean f = false;        for(long i = 1; i * i <= t && i <= k; ++i){            long r = t / i;            BigInteger tmp = BigInteger.valueOf(r);            //out.println(tmp);            ret = ret.add(tmp.multiply(BigInteger.valueOf(i)));            //out.println(ret);            long l = t / (i + 1);            long tt = min(k, r);            if(l < tt && i != tt) {                //long l = t / (i + 1);                BigInteger p = cal(tt).subtract(cal(l)).multiply(BigInteger.valueOf(i));                ret = ret.add(p);            }        }        return ret;    }    public static long min(long a, long b){        return a <= b ? a : b;    }    public  static BigInteger cal(long x){        BigInteger ret = BigInteger.valueOf(x);        BigInteger a = BigInteger.valueOf(x + 1);        BigInteger b = BigInteger.valueOf(2);        return ret.multiply(a).divide(b);    }}

C++

#include <cstdio>using namespace std;typedef long long ll;ll n, k;inline ll min(ll a, ll b){return a <= b ? a : b;}inline ll cal(ll x){return x * (x + 1) / 2;}int main(){   // freopen("in.txt", "r", stdin);    scanf("%lld%lld", &k, &n);    ll ans = n * k;    for(ll i = 1; i * i <= n && i <= k; ++i){        ll r = n / i;        ans -= i * r;        ll l = n / (i + 1);        ll tmp = min(r, k);        /**判i除等价类和[1, k]有没有交集*/        if(l < tmp && i != tmp) ans -= (cal(tmp) - cal(l)) * i;    }    printf("%lld\n", ans);    return 0;}