洛谷 P3768

ans=∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=∑d=1nd∑d|iμ(id)∑i|j∑i|kjk=∑d=1nd∑d|iμ(id)i2⌊ni⌋2(1+⌊ni⌋)24=∑i=1ni2⌊ni⌋2(1+⌊ni⌋)24∑d|id⋅μ(id)

因为有 μ∗id=φ，其中 ∗ 为Dirichlet卷积，即

∑d|iμ(d)⋅id=φ(i)

则原式为

=∑i=1ni2⌊ni⌋2(1+⌊ni⌋)24φ(i)∑i=1n⌊ni⌋2(1+⌊ni⌋)24i2⋅φ(i)

若能求出 f(i)=i2⋅φ(i) 的值，即可利用下底函数的分块做到 O(n√+T(QueryF))

设 S(i)=∑ij=1f(j)，则

==∑i=1n(f∗id2)(i)∑i=1ni3∑j=1nj2⋅S(⌊nj⌋)

于是

S(n)=∑i=1ni3−∑i=2ni2⋅S(⌊ni⌋)

利用线性筛预处理前 O(n23) 的部分，然后求前缀和的复杂度就只有 O(n23) 了。

注意 n 比较大，要用到 O(1) 的快速乘。