重温矩阵（IV） 矩阵与函数

 

光学中的光谱分析与数学中的变换有着千丝万缕的关联

 

上一次我们谈到了，对称矩阵与正定矩阵，这一次，我们谈一谈矩阵如何与函数这个概念发生联系。通过这个并不严谨的描述来建立代数与分析之间的关系。

说到这里，要谈到林达华前辈的博客给我的启发，这位MIT在读博士在数学方向上的认识我相信不亚于任何一位科班出身的数学系同学。通过他寥寥数笔点拨，让我了解了众多数学公式下所隐藏的真谛。

关于谱的说明，就更人很大的启发，利用谱的思想不仅很好的阐释了特征向量与矩阵的关系，也揭示了数学的分析思想，即所说的：分为治之。回顾微积分中的很多定理即是依托这个基本指导思想建立起来的，比如通过谱的思想很好的说明了傅里叶分析的思想。

了解数学是一个潜移默化的过程，看清数学家经过处理后的数学公式下的思想更多是通过交流和思考获得的。笔者谈起自己的本科所学总是很惭愧，真正理会到数学包含的思想是到了大三的时候，当时学习数字信号处理课程感受到数学在应用领域给人的启示以及建立直观与抽象之间联系的桥梁。后期学习的数值分析课程也同样给了我很大的启示，在这门课程中，我认识到了收敛这个名词的意义以及在数值分析算法中的重要性。

 

那么闲话少叙，林达华前辈在博客中对矩阵有过这样描述：

对于一个向量，事实上可以看作离散化后的单变量函数，而对于矩阵而言，它是一个二维函数。

于是，矩阵乘法就变成了积分操作。

初看到这句话，你我一定感觉很突然，还真是没有这样去理解一个矩阵以及向量，但是我们往往与一个绝妙的发现只有一纸之隔，触发它的仅仅是那么小小的点拨。

我们知道，一个矩阵乘以一个向量会产生另一个向量，参见：

 

其中为了好说明（与后文的积分变换符号对应），这里的K是一个矩阵，而f和F分别是变换前后的向量。

我们看积分变换的定义，见wiki：

 

“这里K(t,a)是一个确定的二元函数，称为积分变换的核。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。f(t)称为象原函数，F(a)称为f(t)的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。”

注意两个概念的相通之处：

1.积分变换同样是将一个单变量函数经过与二元函数相乘积分操作从而得到一个新的单变量函数。

2.而对于矩阵在一定的情况下（非退化）是可逆的，事实上其就是变换的核。

再细细分析，你会发现更多的相似之处：矩阵相乘是对应维的累积，要知道积分（定积分）是一种连续性的求和操作。现在我们的思路一下子突然开朗，矩阵与函数建立的关系是那么的微妙，仿佛离散世界与连续世界一下子有了一一对应关系。

循着这个想法，我们会发现更多惊人的东西。我们在上一节说过矩阵有其特征向量，而对于积分变换有么？

答案是肯定的，观察最著名的积分变换之一：傅里叶变换（一种特殊的拉普拉斯变换，拉氏变换是否也有同样的性质待考），我们知道对于正弦函数在信号增强的傅里叶变换中并不改变其频率，而只会改变其幅度（这种说法似乎不严谨，这里为突出两者的相通之处）

那么，从谱思想的角度出发：不同的正弦函数构成的不正是原函数经傅里叶变换后的谱么？就是对应的特征向量么？不过，我们不叫他们为特征向量，而是：特征函数。

好，现在我们就此打住；在这里我们粗谈一下傅里叶变换。

嗨，有人认为高等数学中有两种级数：

一个是泰勒级数，一个是傅里叶级数。虽然，这个说法未免不能全面的说明高等数学的所有的思想，但是管中窥豹，这两种级数蕴涵的思想却是高等数学中最为经典的，特别是对于微积分学来说：我们知道泰勒级数对应的是微分算子，而对于傅里叶级数对应的是积分算子。通过认识这两种级数可见分析学的一斑。

当然，关于这两个级数也有一个笑话：某考研人感叹：学过泰勒级数后，我知道什么叫做复杂，而学了傅里叶级数后，我才知道什么是非常复杂。

说来，开始我总带着一点不解去看待傅里叶级数，似乎一个函数（非三角函数）经过表示成了一系列三角函数的加权和。这种疑惑不亚于0.9循环等于1，以及为什么一堆多项式函数的加和反而不是多项式函数这样的迷惑。其实问题就在于：我们首先就应将函数看作是这些基本函数构造成的（而且是线性组合），包括五大基本函数：指对数函数、三角函数以及反三角函数以及多项式函数（其实根本上应该是幂函数）；至于基本函数有什么好处？以及利于分析的好的性质，各位重新看任意一本涉及函数的数学教科书的最前面。而事实上我们已经获知这些级数是收敛的，我们就应该相信我们的逻辑而不是直觉。

笔者一直认为傅里叶变换是让自己从理论的理解转向应用的桥梁，在大二时期，对于数学分析以及高等代数的认识很僵硬，在公式下不辨真相，也难免产生了对于数学的自卑感，总感觉自己不适合学数学（当然确实不适合读数学），直到认识到了傅里叶变换的美妙一面后，突然开了窍，发现以前的时光如虚度一般。通过认识福利叶变换我仿佛发现了很多从直觉乃至直观上认识现代数学的诸多思想的窍门（其实就是自然而然，循着数学史去理解数学发现），而我们也从此对傅里叶变换发生了兴趣，我乐此不疲的从各种资料上发掘傅里叶变换的通俗而绝妙的解释，在这里列一二，供参考：傅里叶变换最常见稍见本质的解释是：

正弦函数（当然说成余弦也行）去拟合任意连续函数。

在将其引申到更广义的概念上，可理解为：

时间域的问题往往难以分析，就如高山峻岭一般，求解问题就如翻山越岭方可到达目的地，而仅有的一水相隔的频域确实一片坦途；于是傅里叶变换就是拯救我们的小船，将我们渡向坦途，待我们到达目的地的对岸，再需渡水（傅里叶逆变换）即可到达当初翻山越岭方可到达的目的地。

上述的解释不免冗繁而道理已被我们拓展到更为广阔的“如何求解问题”这样广义领域。这种思想可以用来解释很多变换的指导思想

下面是一个笔者认为最为绝妙的解释：

傅里叶变换如一片三棱镜将光分成不同颜色（对应的是光的波长，即频率）的七色光

啊！多么漂亮的解释！各位！关于这一点我们就要谈谈让我们要“站在巨人肩膀上”的大牛：牛顿

 

 

这个图描述了牛顿的最伟大发现

 

诸位，众所周知，牛顿在数学以及物理学上有著名的成就：微积分以及牛顿深以为豪的二项式定理与堪比欧式几何般经典完美的牛顿三大定律（尽管其实两者都不完美，呵呵）而另一个领域就是光学，而在这个让我们稍许陌生的领域其最大的发现就是：光谱分析，见wiki：

“从1670年到1672年，牛顿负责讲授光学。在此期间，他研究了光的折射，表明棱镜可以将白光发散为彩色光谱，而透镜和第二个棱镜可以将彩色光谱重组为白光。他还通过分离出单色的光束，并将其照射到不同的物体上的实验，发现了色光不会改变自身的性质。牛顿还注意到，无论是反射、散射或发射，色光都会保持同样的颜色。在光学上，他发明了反射式望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。”

各位不须我赘述了吧，容许我臆想一下牛顿为什么发现了在数学以及光学等不同领域所蕴含思想，而发现了微积分和光的色散与重聚这两个似乎风马牛不相及的东西。其实这也侧面的说明了自然是如何与数学或者数学是如何准确的描述自然的，关于更多的实例，比如光的折射（光总是选择一个最短的路径去在混合介质中传播）与变分法的关系。

好了闲话少叙，我觉得引用牛顿的发现已经让我少说很多废话了，事实上把手写打成文档的过程使得我对以前的感悟有了重新的思考，但突然发现牛顿的两大发现之间的关联时，我发觉下面的手写文字不过是画蛇添足一般，只不过是废话。

不过，为了连贯思路，我尽量把废话精简一下：

将光分成不同颜色（频率）的单色光去研究我们就称之为谱分析。而谱这个概念在多个科学都有应用，例如矩阵，图论等等，当然都有不同的直觉体现和意义，但是本源的指导思想与牛顿当初的思想相信并无大异。