矩阵函数

在现代控制理论中，因为状态方程都是用矩阵形式来表示的，所以经常或用到关于矩阵的函数。

矩阵函数是利用收敛的矩阵的幂级数来定义的。

f(A)=∑k=0∞ckAk,A∈Cn∗n,ρ(A)<R

1、定义：
设复变函数 f(z)在|z|<R解析，矩阵 A∈Cn∗n的谱半径 ρ(A)<R, 若 A 的 Jordan 标准型为

A=TJT−1,J=diag(J1,J2,…,Jp)

这里 Ji=λiImI+Hmi，i=1,2,…,p, Hmi 为幂零矩阵。则有矩阵函数：

f(A)=Tf(J)T−1=Tdiag(J1,J2,…,Jp)T−1

f(Ji)=f(λi)Imi+⋯+1(mi−1)!f(mi−1)(λi)Hmi−1mi

根据定义，可以直接求出 eA,eAt等的值。

2、导数与积分

ddtA(t)=(ddtaij(t))m∗n

∫A(t)dt=(∫aij(t)dt)m∗n

可以直接求出 eA,eAt等的 “导数与积分” 的值

3、矩阵 A，B∈Cn∗n，若AB=BA,则有

eAtB=BAtA,∀t∈C

eAeB=eBeA=eA+B

ddteA(t)=AeA(t)=eA(t)A

ddtcos(A(t))=−Asin(A(t))

ddtsin(A(t))=Acos(A(t))