算法笔记（IX） 一个随机数生成问题

我们在启发式乃至计算机模拟中都要产生大量的随机数，而随机数的产生并非像大家想想的那样的简单，

以下就是一个简单的随机数产生问题，相信做过启发式算法以及模拟的同学都可能遇到：

例如我们求解一个优化问题，而问题的变量要求其和等于1，即：

X1+X2+X3+...+X10 = 1;

要求X1...X10符合均匀分布。

 

这个随机数产生问题解法并不唯一，但产生的结果却大相径庭，其中可能包含一定的统计学知识。

下面我们说一说我所知道的两种策略：

 

策略一：

产生10个0到1间的均匀分布随机数，接着我们求这10个数的和；并将每个数除以总和，即可巧妙的保证

除的结果的和为1。

 

当我第一次看到这种方法时，觉得很巧妙；在感叹方法巧妙的同时感觉这种方法并不能保证所得的10个随机数满足均匀分布，而且结果的差别很大，随机数大量的分布在0.1附近（似乎这也合常理），下面是经过1000次模拟所得的结果，见直方图：

 

今天，也是在某博客上看到这个问题，在有人提到这个方法后博主回应并不能满足均匀的条件；回想一下学过的统计知识，我发现对于等式：

X1+X2+...X10=1;

其隐隐的包含着一个信息：

    产生的随机数并非10个自由度，进一步说，如果我们确定了其中的9个，那么第10个变量实质上已经确定了。继而会想到以前曾有过的一个更为直觉的想法：

 

我们将0-1这个区间看成一个线段，我们不如考虑怎样将这条线段分成10份作为问题的转化，于是接下来的事情就简单多了，我们产生9个点，并以这9个点做一个对线段的剖分，得到的结果将是我们的10个随机数，而且这10个小的线段加和必然是1.

好，说完即做，我满怀信心的编程，结果似乎很让人满意，各个变量的分布几乎相同，而且分布的很广，见下图：

顿时成就感十足以为解决了这个问题，但是问题并不是那么的简单，这10个数的分布经过上述的处理之后其分布不再是均匀的，然而让人觉的好像是正态分布的另一半，殊不知C语言产生正态分布的方法就是取若干均匀分布数的和，其和近似满足正态分布。

 

到底是方法的问题还是问题本身的问题，我百思不得其解；在直觉上，似乎完美的方案在实际应用中并非像想象的那样。

 

我隐隐觉得取均匀分布并满足其和为1这种苛刻的条件实在是存在某种矛盾，而这种矛盾的结果意味着，产生的分布已经不再是原来的均匀分布。

问题没有得到圆满的解释，不过通过这个问题我们也能看出直觉与实际往往相差很大，通过实验往往能够看出其中的差异。

 

RONGE KUTA

代码：

%策略1：n = 10;S = 1000;% 测试次数X = rand(S ,n);SumX = sum(X,2);x = zeros(S,10);for i = 1:nx(:,i) = X(:,i)./SumX;endhist(x)m = mean(x); %策略2：n = 10;S = 1000;% 测试次数X = rand(S ,n-1);X = [zeros(S,1),X];X = sort(X,2);x = zeros(S,10);x(:,1:end-1) = X(:,2:end)-X(:,1:end-1);x(:,10) = 1-X(:,end);hist(x)

m = mean(x);