PAT 1007 Maximum Subsequence Sum（最大子串和）

原题地址

https://www.patest.cn/contests/pat-a-practise/1007

求出给定数字串的最大子串和，以及这个最大子串和的首尾元素。（若有多个最大子串则取最靠左的那个）

解题思路

本题基本上是最大子串和的裸题，只是增加了一个输出首尾元素的要求。

最大子串和描述：输入一个整数序列，求出其中连续子序列和的最大值。

最大子串和几种解法：

• 复杂度O(n^3)：穷举所有可能的首尾子串组合，用i和j循环确定首尾，k循环累加这之间的数，如果这个组合的累加大于记录过的maxSum则更新。**
• 复杂度O(n^2)：穷举优化版，只用i循环确定子串的首个数，j循环不断延长这个子串，延长的同时累加，如果在累加的某一刻大于了maxSum则更新。
• 复杂度O(n^2)：分治法，将序列分成左右两部分，分别递归求出左，右后，再求跨越中界的最大子序列和。求跨越序列时一直从中间向左/右走到底的同时累加，如果在累加的某一刻大于了maxSum则更新。
• 复杂度O(n)：联机算法，只扫描一遍序列，扫描的同时做累加。判断累加当前元素后的thisSum，如果比记录过的maxSum大则更新，如果比maxSum小且为负，那么丢弃构成thisSum的子串，从下一个元素开始另起一个子串。
• 大神总结比较经典，包含了核心代码—>最大子序列求和问题及联机算法

本题处理

对于这道题我尝试了O(n)和O(n^2)的方法都可以过，前者耗时13ms后者耗时48ms，数据量小时都已经看得出一些差距了。

需要注意的点：

• 由于要求输出首尾元素，那么就需要记录下标maxStart和maxEnd，在处理每个子串时，需要nowStart和nowEnd的辅助来更新这两者。
• 元素全为正：只要和now有关的变量都初始化为0即可。
• 元素全为负：题目要求输出0和最前最尾元素，negative在读入时判断有没有负数。
• 最大子串只是一个0，那么maxSum就不能初始化为0，否则无法更新，因此要初始化为负数而且只能是-1，可以在初始化为-999时测试-1 0 2 3就看得出来问题。

AC代码

#include <iostream>using namespace std;const int maxn = 10005;int a[maxn];void maxSubstrSum_n(int n) ///O(n)的联机算法{    bool negative = true; //判断数组是否全为负数    for (int i = 0; i<n; ++i)    {        cin >> a[i];        //出现非负数，注意要有等号！有0时，最大值可能为0        if(a[i] >= 0) negative = false;    }    if (negative) //全为负数    {        cout << 0 << ' ' << a[0] << ' ' << a[n-1];        return;    }    //最大值可能是0，maxSum置为-1才会更新（不能置为-999）    int maxSum = -1, maxStart, maxEnd;    int nowSum = 0, nowStart = 0, nowEnd = 0;    ///核心代码    for (int i = 0; i<n; ++i)    {        nowSum += a[i];        if (nowSum > maxSum) //比之前的maxSum大时更新，由于保留第一组所以不取等号        {            maxSum = nowSum; //更新最大值            nowEnd = i; //延伸当前串            maxStart = nowStart; //更新起始位置            maxEnd = nowEnd;        }        else if (nowSum < 0) //nowSum比maxSum小且为负，另起一个长度为1的子串        {            nowSum = 0;            nowStart = nowEnd = i+1; //从下一个数开始        }    }    cout << maxSum << ' ' << a[maxStart] << ' ' << a[maxEnd];}void maxSubstrSum_n2(int n) ///O(n^2)的遍历算法{    bool negative = true;    for (int i = 0; i < n; ++i)    {        cin >> a[i];        //出现非负数，注意要有等号！有0时，最大值可能为0        if (a[i] >= 0) negative = false;    }    if(negative) //全为负数    {        cout << 0 << ' ' << a[0] << ' ' << a[n-1]<< endl;        return ;    }    int maxSum = -1, maxStart = 0, maxEnd = n-1;    for (int i = 0; i<n; ++i)    {        int nowSum = 0; //记录着以i为起始的所有子串和        for (int j = i; j<n; ++j)        {            nowSum += a[j]; //i...j            if (nowSum > maxSum) //更新maxSum            {                maxSum = nowSum;                maxStart = i;                maxEnd = j;            }        }    }    cout << maxSum << ' ' << a[maxStart] << ' ' << a[maxEnd] << endl;}int main(){    int n;    cin >> n;    //maxSubstrSum_n(n);    maxSubstrSum_n2(n);    return 0;}