lucas定理（hdu3037，）

这几天脑袋秀逗了，想什么都想不出来，上课状态也特别差，老是犯困，看来最近状态不是一般的差，以后不熬夜了，注意作息，调整状态好好学习了。用心看了下lucas定理，就整理下来吧。

Lucas定理

定义：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

怎么用：

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p，p为素数的值。（注意：p一定是素数）

有人会想，C(n,m)不能用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式来递推吗？

（ 提示：C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p ）

可以是可以。但当n，m，p都很大时，你递推所用的时间就会很爆炸了。所以，这就需要用到Lucas定理来解决了。

因此，Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的。

心得：当你求解大的组合数，递推特别耗时的时候，并且让你对一个素数取模的时候，那一定就是lucas定理了。

注意：

Lucas定理最大的数据处理能力是p在10^5左右。

表达式：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p。（可以递归）

递归方程：(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p。（递归出口为m==0，return 1）

已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然是除法取模，这里又要用到m!(n-m)!的逆元。
求逆元
根据费马小定理：

已知(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p),  所以 a*a^p-2 ≡ 1 (mod p)。

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^{p-2 。}

以上就是卢卡斯定理的内容了

下面是模板代码，模板求得是C（m+n，m）,题目出处http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;#define ll long longconst int mo=1e6+10;ll fact[mo];ll n,m,p;void init()//对阶乘进行预处理{    fact[0]=1;    for(int i=1;i<=p;i++)        fact[i]=fact[i-1]*i%p;}ll quickmod(ll a,ll b)//快速幂{    ll ans=1;    ll temp=a%p;//不太明白，需要请教    while(b){        if(b&1) ans=ans*temp%p;        temp=temp*temp%p;        b>>=1;    }    return ans;}ll comb(ll n,ll m)//comb用来求解组合数{    if(m>n) return 0;    return fact[n]*quickmod(fact[m]*fact[n-m],p-2)%p;//根据费马小定理求逆元因为a^(p-1)modp==1所以a^(p-2)modp就是a的逆元}ll lucas(ll n,ll m)//卢卡斯定理{    if(m==0) return 1;//出口    else return  (comb(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p))%p;//卢卡斯定理}int main(){    ll t;scanf("%lld",&t);while(t--){        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);        init();        printf("%lld\n",lucas(n+m,m));    }}