hdu3037 大组合数取模(Lucas定理)
来源:互联网 发布:js留言板 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 18:45
题目相当于求n个数的和不超过m的方案数。
如果和恰好等于m,那么就等价于方程x1+x2+...+xn = m的解的个数,利用插板法可以得到方案数为:
(m+1)*(m+2)...(m+n-1) = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)
现在就需要求不大于m的,相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和,根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得
C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)
= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)
= C(n+m,m)
现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。
然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值
下面简单介绍一下Lucas定理:
Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数(从n取m组合,模上p)。
描述为:
Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;
简单的理解就是:
以求解n! % p 为例,把n分段,每p个一段,每一段求得结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出来,会发现剩下的数正好又是(n/p)! ,相当于
划归了一个子问题,这样递归求解即可。
这个是单独处理n!的情况,当然C(n,m)就是n!/(m! *(n-m)!),每一个阶乘都用上面的方法处理的话,就是Lucas定理了
Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右。
而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p
其实就是求 ( a! / (a-b)!) * ( b! )^(p-2) mod p
(上面这一步变换是根据费马小定理:假如p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒为1,
那么a和a^(p-2)互为乘法逆元,则(b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)
用下面的Lucas定理程序实现就能得出结果,实现过程中要注意乘法时的强制转换
#include <iostream>#include <cstdio>//typedef __int64 lld;typedef long long lld;lld N,M,P;int Pow(lld a,lld n,lld p){lld x = a;lld res = 1;while(n){if(n & 1){res = ((lld)res * (lld)x) % p;}n >>= 1;x = ((lld)x*(lld)x) % p;}return res;}int Cm(lld n,lld m,lld p){lld a = 1,b = 1;if(m > n) return 0;//实现(a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p,由于n比较大,所以,此处不知道有什么好的优化while(m){a = (a * n) % p;b = (b * m) % p;m--;n--;}return ((lld)a * (lld)Pow(b,p-2,p))%p;}int Lucas(lld n,lld m,lld p){if(m==0)return 1;return((lld)Cm(n%p,m%p,p)*(lld)Lucas(n/p,m/p,p))%p;}int main(){int t;//freopen("in.txt","r",stdin);scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%I64d%I64d%I64d",&N,&M,&P);printf("%d\n",Lucas(N+M,M,P));}return 0;}
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