【最短路径树+可并堆/树链剖分】BZOJ1576 [Usaco2009 Jan]安全路经Travel

题面在这里

此题最重要的思想就是建立“最短路径树”。
何为最短路径树？就是最短路经过的所有点和边构成的一棵树（以前竟然没有发现这个东西）

考虑不经过最短路的最后一条边，其实就是把点x到父亲的边去掉
那么剩下的最短路径必定是这样的：
由一条不在树上的边(u,v)连接x子树和其余部分，则路径为1~u~v~x
可以发现，整个过程只走了一次不在树上的边，这样就保证了答案必定最优
这个方案的答案为：dst[u]+dst[v]+w(u,v)-dst[x]

然后就有两种解法：
【可并堆】
对于每棵子树，建立一个小根堆维护dst[u]+dst[v]+w(u,v)的最小值即可
从叶往根处理，每次合并各个儿子的堆，为了效率用可并堆（当然你也可以启发式合并一发）这里我用左偏树实现
就解决了，时间复杂度O(NlogN)

附上代码：

#include<cstdio>#include<queue>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=100005,maxe=400005;struct data{    int id,w,fa;    data (int x,int y,int z): id(x),w(y),fa(z) {}    bool operator<(const data&b)const{        return w>b.w;    }};int n,e,ans[maxn],dst[maxn],fa[maxn];struct edge{    int tot,lnk[maxn],son[maxe],nxt[maxe],w[maxe];    edge() {tot=0;}    void add(int x,int y,int wi){        son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];w[tot]=wi;lnk[x]=tot;    }}a,b;inline int red(){    int tot=0,f=1;char ch=getchar();    while (ch<'0'||'9'<ch) {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}    while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+ch-48,ch=getchar();    return tot*f;}int getfa(int x){    if (fa[x]==x) return x;    return fa[x]=getfa(fa[x]);}priority_queue<data> Q;bool vis[maxn];void DIJ(){    memset(dst,63,sizeof(dst));    dst[1]=0;Q.push(data(1,0,1));    while (!Q.empty()){        while (!Q.empty()&&vis[Q.top().id]) Q.pop();        if (Q.empty()) break;int k=Q.top().id,fa=Q.top().fa;Q.pop();        if (k!=1) b.add(fa,k,dst[k]-dst[fa]);        vis[k]=1;        for (int j=a.lnk[k];j;j=a.nxt[j])         if (dst[a.son[j]]>dst[k]+a.w[j])          dst[a.son[j]]=dst[k]+a.w[j],          Q.push(data(a.son[j],dst[a.son[j]],k));    }}struct node{    int l,r,w,d,id;    bool operator<(const node&b)const{        return w<b.w;    }    node() {}    node(int x,int i):w(x),id(i),d(0),l(0),r(0) {}}tre[maxe];int rot[maxn],len;int merge(int a,int b){    if (!a||!b) return a+b;    if (tre[b]<tre[a]) swap(a,b);    tre[a].r=merge(tre[a].r,b);    if (tre[tre[a].l].d<tre[tre[a].r].d) swap(tre[a].l,tre[a].r);    if (!tre[a].r) tre[a].d=0;else tre[a].d=tre[tre[a].r].d+1;    return a;}int unite(int x,int y){    int fx=getfa(x),fy=getfa(y);    fa[fx]=fy;}void dfs(int x,int father){    for (int j=b.lnk[x];j;j=b.nxt[j])     dfs(b.son[j],x),fa[x]=unite(x,b.son[j]);    rot[x]=0;    for (int j=a.lnk[x];j;j=a.nxt[j])     if (a.son[j]!=father&&getfa(a.son[j])!=getfa(x))      tre[++len]=node(dst[a.son[j]]+dst[x]+a.w[j],a.son[j]),rot[x]=merge(rot[x],len);    for (int j=b.lnk[x];j;j=b.nxt[j])     rot[x]=merge(rot[x],rot[b.son[j]]);    while (getfa(tre[rot[x]].id)==getfa(x)) rot[x]=merge(tre[rot[x]].l,tre[rot[x]].r);    ans[x]=tre[rot[x]].w-dst[x];}int main(){    n=red(),e=red();    for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;    for (int i=1,x,y,w;i<=e;i++) x=red(),y=red(),w=red(),a.add(x,y,w),a.add(y,x,w);    DIJ();len=0;    dfs(1,1);    for (int i=2;i<=n;i++)     if (ans[i]<0) printf("-1\n");else printf("%d\n",ans[i]);    return 0;}

【树链剖分】

想法与上面类似
我们枚举每条边(u,v)，假设u在x子树外，v在x子树内
则可以用dst[u]+dst[v]+w(u,v)来更新x~v路径上所有点的最小值
这样就可以用树链剖分+线段树来维护这个最小值了
最后输出答案时再-dst[i]

想法相似，所以没有配代码……