bzoj 1576: [Usaco2009 Jan]安全路经Travel（dijkstra堆优化+并查集）

1576: [Usaco2009 Jan]安全路经Travel

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Description

Input

* 第一行: 两个空格分开的数, N和M

* 第2..M+1行: 三个空格分开的数a_i, b_i,和t_i

Output

* 第1..N-1行: 第i行包含一个数:从牛棚_1到牛棚_i+1并且避免从牛棚1到牛棚i+1最短路经上最后一条牛路的最少的时间.如果这样的路经不存在,输出-1.

Sample Input

4 5
1 2 2
1 3 2
3 4 4
3 2 1
2 4 3

输入解释:

跟题中例子相同

Sample Output

3
3
6

输出解释:

跟题中例子相同

HINT

Source

Gold

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题解：最短路+并查集

用dijkstra的堆优化建立最短路树，并记录最短路上的边，每个节点的父亲节点和节点在树中的深度。

因为最短路树上的1-i路径中的最后一条边是不能通过的，所以就是在最短路树中加一条边，从另一个方向到底当前点

对于一条不在最短路树的边u-nw，长度v，设t=lca(u,nw)

那么对于t-u和t-nw 的路径上所有点x，都可通过先求出环上的长度，在减去dis[x]的长度求得。

路径长度为dis[u]+v+dis[nw]-dis[x],因为dis[x]的长度是固定的，所以最小化这个长度，也就是最小化dis[u]+v+dis[nw]

所以我们可以用这个值去更新t-u,t-nw路径中所有点（不包括t）的最短路长度。

比较好想的思路是树链剖分+线段树，用线段树去维护每个点的dis[u]+v+dis[nw]，但是还有更优越的思路。

前面的都不变，只是我们这次不用线段树维护，而是先把所有不再最短路树中的边加到一个结构体中，然后按照dis[u]+v+dis[nw]从小到大排序，因为权值小的靠前，所有第一次更新的一定是最小的，这样的话每个点至多会被更新一次，那么我们可以把一条链上的点用并查集并到一起，并查集的编号就是树链顶端点的father,这样在求lca 上的路径时，算完一个点就直接蹦到她所属的链顶的上一个（即记录的fa[x]的值），这样每个点最多被计算一次。保证正确性的同时，也保证了科学的时间负责度。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<queue>#define pa pair<int,int>#define inf 1000000000#define N 400003using namespace std;int n,m;int tot,u[N],vis[N],point[N],v[N],next[N],fa[N],pre[N],d[N],mark[N];int f[N],nw[N],ans[N],num,deep[N],dis[N];struct data {int x,y,len;};data a[N];void add(int x,int y,int z){tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; u[tot]=y; v[tot]=z; nw[tot]=x;tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; u[tot]=x; v[tot]=z; nw[tot]=y;}int cmp(data a,data b){return a.len<b.len;}void dijkstra(){priority_queue<pa,vector<pa>,greater<pa> > q;for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;dis[1]=0; deep[1]=1; q.push(make_pair(0,1));while(!q.empty()){int now=q.top().second; q.pop();if (vis[now]) continue;vis[now]=1;for (int i=point[now];i;i=next[i]) if (dis[now]+v[i]<dis[u[i]]) { dis[u[i]]=dis[now]+v[i]; mark[pre[u[i]]]=0; pre[u[i]]=i;  deep[u[i]]=deep[now]+1; mark[i]=1; f[u[i]]=now; q.push(make_pair(dis[u[i]],u[i])); }}}int find(int x){if (fa[x]==x) return x;fa[x]=find(fa[x]);return fa[x];}void solve(int u,int v,int k){int x=find(u); int y=find(v);while (x!=y){if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);ans[x]=k-dis[x];num++;fa[x]=f[x];x=find(fa[x]);}}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); add(x,y,z); }dijkstra();int cnt=0;for (int i=1;i<=m;i++) if (!mark[i*2-1]&&!mark[i*2])  {  cnt++;  a[cnt].x=nw[i*2];  a[cnt].y=u[i*2];  a[cnt].len=dis[nw[i*2]]+dis[u[i*2]]+v[i*2];  }sort(a+1,a+cnt+1,cmp);for (int i=1;i<=n;i++) ans[i]=-1,fa[i]=i;for (int i=1;i<=cnt;i++){ solve(a[i].x,a[i].y,a[i].len); if (num==n-1) break;    }    for (int i=2;i<=n;i++)     printf("%d\n",ans[i]);}