所有的多面体都是凸集

凸优化中多面体的定义

P={x|aTix≤bi,i=1,2,⋯,m,cTjx=dj,j=1,2,⋯,p}

以下分为三个步骤进行证明：
(a) 证明：若{Ωα}(α∈I) 是Rn空间中的凸集的集合. 则⋂α∈IΩα 也是凸集.

证: 设任意x1,x2∈⋂α∈IΩα. 那么对于任意α∈I，都有x1,x2∈Ωα . 由于Ωα是凸集，因此θx1+(1−θ)x2∈Ωα (α∈I) 对于任意的 θ∈(0,1) 都成立，即， θx1+(1−θ)x2∈⋂α∈IΩα，即⋂α∈IΩα 是凸集.

(b) 证明：超平面和半空间是凸集
超平面和半空间的定义如下：

Hyperplanes:{x|aTx=b}Halfspaces:{x|aTx≤b}

证: 假设 x1,x2∈Ω, 并且aTx1=b,aTx2=b. 我们可以得到

aT(θx1+(1−θ)x2)=θaTx1+(1−θ)aTx2=b

即, (θx1+(1−θ)x2)∈Ω. 类似的，我们也可以得到半空间也是凸集。

(c) 从多面体的定义，我们知道一个多面体是由多个超平面和半空间的交集合，如步骤(b)中证明，超平面和半空间都是凸集，如步骤(a)中证明，凸集的交集合也是凸的。根据(a)和(b)的结论，因此多面体是凸集。