蓝桥杯

  历届试题 大臣的旅费  

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问题描述

很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。

J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数

城市从1开始依次编号，1号城市为首都。

接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）

每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例输入1

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

样例输出1

135

输出格式

大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。

思路分析：读完题目后需要注意这么几个地方：

1.求图中任意两点的最长路，不是求最短路

2.没有给出数据范围

3.计算距离的时候道路的权值是根据距离增加的

经过我的测试，这道题数据范围最大是10000个结点，所以用领结矩阵存储图是会内存超限的，一个测试点都过不去。所以这道题我们用邻接表存储图。

如何计算任意两点的最长路呢？可以用Floyd，时间复杂度是n^3，显然不可取。（记得有一个叫DAG最长路的东西是基于DP的，但还不太会），这里我们用搜索dfs去做。

这里有一个技巧，点开“锦囊2”发现，题目让我们求树中任意两个结点的最远距离。有些人可能会问：“这道题是求图中最远的两个点啊，跟树有什么关系？”。仔细读题发现，题目中说“任何一个城市都能从首都或其他城市间接到达”，意思就是说这个图所有结点都是连通的，不存在孤立的结点，也就是个连通图。然后题目又说只有n - 1条边，结点一共n个，显然这个图其实就是一棵树。因为树的边等于结点数量 - 1。

所以就有了“锦囊2”中的那个提示。计算树中最远的两个点的距离算法是这样的：从任意结点开始（比如1号）dfs一遍，找到距离这个结点最远的结点u，然后从u开始再dfs一遍，找到距离u最远的结点v。此时，u和v就是树中距离最远的两个点，他俩的距离在第二遍dfs的时候也已经求出来了。

具体证明不详，参考别人博客吧。。

#include <cstdio>#include <string>#include <vector>#define MAX 10000 + 10#define INF 0x3fffffffusing namespace std;typedef struct Edge {    int from;    int to;    int weight;    Edge( int f, int t, int w ) : from( f ), to( t ), weight( w ) {}} Edge;vector<Edge> MGraph[MAX];int visit[MAX];int ans = -1000;int curMax = -1000;int dis = -1000;int u;void dfs( int n, int cur, int curLen ) {    if( cur > n ) return;    if( curLen > curMax ) {        curMax = curLen;        u = cur;    }    visit[cur] = 1;    for( int i = 0; i < MGraph[cur].size(); i++ ) {        int next = MGraph[cur][i].to;        if( visit[next] == 0 ) {            dfs( n, next, curLen + MGraph[cur][i].weight );        }    }}int main() {    int n;    scanf( "%d", &n );    int a, b, c;    for( int i = 1; i <= n - 1; i++ ) {        scanf( "%d%d%d", &a, &b, &c );        Edge e1( a, b, c );        Edge e2( b, a, c );        MGraph[a].push_back( e1 );        MGraph[b].push_back( e2 );    }    dfs( n, 1, 0 ); // 先从1号结点dfs一遍    int v = u;    //printf( "%d\n", v );    curMax = -1000;    fill( visit, visit + MAX, 0 );    dfs( n, v, 0 ); // 第二遍dfs    //printf( "%d\n", u );    ans = curMax;    ans = ans * 10 + ( 1 + ans ) * ans / 2;    printf( "%d", ans );    return 0;}