过河问题
来源:互联网 发布:什么是攻守道 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 22:39
描述
在漆黑的夜里,N位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话,大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是,N个人一共只带了一只手电筒,而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话,N人所需要的时间已知;而如果两人同时过桥,所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是,如何设计一个方案,让这N人尽快过桥。
输入
第一行是一个整数T(1<=T<=20)表示测试数据的组数
每组测试数据的第一行是一个整数N(1<=N<=1000)表示共有N个人要过河
每组测试数据的第二行是N个整数Si,表示此人过河所需要花时间。(0<Si<=100)
输出
输出所有人都过河需要用的最少时间
样例输入
1
4
1 2 5 10
样例输出
17
思路:先让前两个速度大的过去,再让速度最大的回来送电筒,然后让最后两个速度小的过去,让速度次大的a[1]回来送电筒。完成一轮,a[0],a[1]在同一边,接着重复以上动作。time1=a[0]+a[1]+a[1]+a[n-1];
排好序后,先让速度最大的的带着最小的过去,然后最大的回来送电筒,再让最大的带着速度次小的过去,然后最大的回来送电筒,此时a[0],a[1]在同一边,接着重复以上动作。time2=a[0]+a[0]+a[n-1]+a[n-2];
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool cmp(int x,int y)
{
return x<y;
}
int main()
{
int s[1010];
int i,j,k,m,n,time1,time2,time;
cin>>m;
while(m--)
{
time=0;
cin>>n;
for(i=0;i<n;i++)
{
cin>>s[i];
}
sort(s,s+n,cmp);
while(n>3)
{
time1=s[1]+s[0]+s[n-1]+s[1];
time2=s[n-1]+s[n-2]+s[0]+s[0];
if(time1>time2)
{
time+=time2;
}
else
{
time+=time1;
}
n-=2;
}
if(n==3)
{
time+=s[0]+s[1]+s[2];
}
else if(n==2)
{
time+=s[1];
}
else if(n==1)
{
time+=s[0];
}
cout<<time<<endl;
}
return 0;
}
从数学角度来研究过河问题
一、问题描述
在漆黑的夜里,甲乙丙丁共四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话,大家是无论如何也不敢过桥的。不幸的是,四个人一共只带了一只手电筒,而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话,四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟;而如果两人同时过桥,所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题:如何设计一个方案,让这四人尽快过桥。
二、问题答案
两人过桥后,需要把手电筒送回,最容易想到的是让最快的人担任来回送电筒。因此,第一种办法:先让甲乙过去(2分钟),甲回来(1分钟),甲丙过去(5分钟),甲回来(1分钟),甲丁再过去(8分钟),总共需要17分钟就可以让四个人都过去。
而正确答案是第二种办法:先让甲乙过去(2分钟),甲回来(1分钟),丙丁过去(8分钟),乙回来(2分钟),甲乙再过去(2分钟),总共需要15分钟就可以让四个人都过去。这种方法的关键点,让两个最慢的人同时过桥。
三、扩展
把四人所需要的时间,改变一下分别,是1、4、5、8分钟。
第一种方法:先甲乙过去(4分钟),甲回来(1分钟),甲丙过去(5分钟),甲回来(1分钟),甲丁再过去(8分钟),总共需要19分钟就可以让四个人都过去。
第二种方法:先让甲乙过去(4分钟),甲回来(1分钟),丙丁过去(8分钟),乙回来(4分钟),甲乙再过去(4分钟),总共需要21分钟就可以让四个人都过去。
这一次,两个最慢的人一起过去反而更慢了。
这两次方案的差异:次快的人要不要也传递一次手电筒。
假定四个人过河时间是T1,T2,T3,T4且T1<T2<T3<T4,如何选择过桥方案。
第一种过河方法的总时间为:T2+T1+T3+T1+T4
第二种过河方法的总时间为:T2+T1+T4+T2+T2
二者之差为:(T1+T3)-2T2。
结论:如果(T1+T3)大于2T2,第二种方法优;如果(T1+T3)小于2T2,第一种方法优;如果(T1+T3)等于2T2,两种方法无差异。
四、问题推广
现在我们把这个问题推广:如果有N(N大于等于4)个旅行者,假设他们有各自所需的过桥时间有快有慢,各不相同。在只有一只手电筒的情况下,要过上述的一条桥,怎样才能找到最快的过桥方案?
现在我们假定,N个人单独过桥的时间分别是T1,T2,T3,……,Tn,且满足T1<T2<T3<…… <Tn。
经过分析,要满足最快过桥,合理的安排包括以下几点:
1)让最快的送手电筒的次数尽可能多些。
2)某些方案中,次快的也送电筒也可能会电筒。
3)让慢的过桥次数尽可能少些;
4)最快的两个先过桥,以保证此二人是能来回送电筒的人;
借助上述结论,来逐步分析多人情形。
当N=5人时,第一次先T1、T2两人过桥,T1把电筒送回,没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5的4人情形。这个时候,需要比较T1+T4与2T3的大小吗?
第一种方案,还是选择T1来回送电筒,过桥总时间:为T2+T3+T1+T4+T1+T5
第二种方案,让慢的一起走,但因为送回电筒的不是T3,而是更快一点的T2,总过桥时间:T2+T5+T2+T3+T1+T2。
两种方案两者之差为T1+T4-2T2,这里与T3没有关系。
当N=6人时,第一次先T1、T2两人过桥,T1把电筒送回,没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5、T6 的5人情形。按照刚才的分析,要比较T1+T5-2T2的大小。
以此类推,两种方案的差异,只与最快的人、次快的人和次慢的人的单独过桥时间有关,而与其他人的快慢无关。
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