动态规划解乘法表问题——算法解题报告

定义于字母表∑{a,b,c)上的乘法表如表1所示
表1∑乘法表
    a  b  c
a  b  b  a
b  c  b  a
c  a  c  c

依此乘法表,对任一定义于∑上的字符串,适当加括号表达式后得到一个表达式。例如,对于字符串x=bbbba,它的一个加括号表达式为i(b(bb))(ba)。依乘法表,该表达式的值为a。试设计一个动态规划算法,对任一定义于∑上的字符串x=x1x2…xn，计算有多少种不同的加括号方式,使由x导出的加括号表达式的值为a
要求：
输入：输入一个以a,b,c组成的任意一个字符串。
输出：计算出的加括号方式数。

思路：

建立一个三位数组，用于记录一段连续的序列内通过加括号可得到a、b、c的方式数，然后往长度方向扩展，因为每两个字母相乘的结果已给出，所以可通过加和乘运算求出更大长度的字符串得到a、b、c的方式数

具体算法：
数组维数为:p[n][n][3];
p[i][j][k] 表示 字符串xix(i+1)....xj的表达式的值为k(k>=0 k <=2,k=0表示a...) 的方式数；

递推式为：
p[i][j][0]=   sum(p[i][t][0]*p[t+1][j][2]+   p[i][t][1]*p[t+1][j][2]+p[i][t][2]*p[t+1][j][0]) 
p[i][j][1]与p[i][j][2]类似p[i][j][0] 的求法 t>=i 并且t <j

C++代码

1. #include <stdio.h>   
2. #include <string.h>   
3. int main() {   
4.     int n = 0;   
5.     char c;   
6.     int p[100][100][3] = {0};   
7.     while((c = getchar()) != '/n') {   
8.         p[n][n][c - 'a'] = 1;   
9.         n++;   
10.     }      
11.     for(int k = 1;k < n;k++) {   
12.         for(int i = 0;i < n-k;i++) {   
13.             int j = i + k;   
14.             for(int t = i;t < j;t++) {   
15.                 p[i][j][0] += p[i][t][2]*p[t+1][j][0] + p[i][t][0]*p[t+1][j][2] + p[i][t][1]*p[t+1][j][2];   
16.                 p[i][j][1] += p[i][t][0]*p[t+1][j][0] + p[i][t][0]*p[t+1][j][1] + p[i][t][1]*p[t+1][j][1];   
17.                 p[i][j][2] += p[i][t][1]*p[t+1][j][0] + p[i][t][2]*p[t+1][j][1] + p[i][t][2]*p[t+1][j][2];   
18.             }   
19.         }   
20.     }   
21.     printf("%d/n",p[0][n-1][0]);   
22. }