最短路径

用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
有两种算法：迪杰斯特拉和弗洛伊德
前者用于求解一个顶到其他顶点的最短路径
后者用于求解各顶点到其余顶点的最短路径


Dijkstra算法


1.定义概览


Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。


问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）


 


2.算法描述


1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。


2)算法步骤：


a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。


b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。


c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。


d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。


Floyd算法

1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　
b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

过程如下：

下面给出代码：

#include<iostream>    using namespace std;const int MAX_NUM = 100;const int INF = 65536;//无穷大template<typename node_name>class MGraph {public://初始化  MGraph(int vertexs, int edges) :_vertexs(vertexs),_Edges(edges){for (int i = 0; i < _vertexs; ++i)for (int j = 0; j < _vertexs; ++j)if (i == j)arcs[i][j] = 0;elsearcs[i][j] = INF;for (int i = 0; i < _vertexs; ++i)vertex[i] = i;}void Create() {//创建图  Set_Arc(0, 1, 4);Set_Arc(0, 2, 6);Set_Arc(0, 3, 6);Set_Arc(1, 2, 1);Set_Arc(1, 4, 7);Set_Arc(2, 4, 6);Set_Arc(2, 5, 4);Set_Arc(3, 2, 2);Set_Arc(3, 5, 5);Set_Arc(4, 6, 6);Set_Arc(5, 4, 1);Set_Arc(5, 6, 8);}void Print_Edge() {//输出每一条边  for (int i = 0; i < _vertexs; ++i)for (int j = 0; j < _vertexs; ++j)if (arcs[i][j] != INF)cout << vertex[i] << "->" << vertex[j] << ":" << arcs[i][j] << endl;}int Get_vertexs() {//返回节点数return _vertexs}//迪杰斯特拉算法求最短路径void Dijkstra(int start,int num, int path[], int dist[]) {int set[MAX_NUM];int i, j,flag, min;for (i = 0; i < num; ++i) {set[i] = 0;//初始化set[]令每一个都为零dist[i] = arcs[start][i];//初始化path[]if (arcs[start][i] < INF)path[i] = start;elsepath[i] = INF;}set[start] = 1;path[start] = -1;for (i = 0; i < num; ++i) {min = INF;for(j=0;j<num;++j)//找到已知最短路径if (dist[j] < min&&set[j] == 0) {flag = j;min = dist[j];}set[flag] = 1;//标记为已找到start到flag的最短路径for (j = 0; j < num; ++j)//更新最短路径if (dist[j]>dist[flag]+arcs[flag][j] && set[j] == 0) {dist[j] = dist[flag] + arcs[flag][j];path[j] = flag;}}}//弗洛伊德算法void Floyd(int A[][MAX_NUM], int path[][MAX_NUM]) {int i, j, k;for(i=0;i<_vertexs;++i)for (j = 0; j < _vertexs; ++j){A[i][j]=arcs[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;k<_vertexs;++k)for(i=0;i<_vertexs;++i)for (j = 0; j < _vertexs; ++j) if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]) {A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];path[i][j] = k;}}private:void Set_Arc(int a, int b, int w) {//设置a指向b的边  arcs[a][b] = w;}private:int _vertexs;//节点数  int _Edges;//边数  node_name vertex[MAX_NUM];//顶点信息  int arcs[MAX_NUM][MAX_NUM];//矩阵，用于存放权值  };void Print1(int *p, int *d,int n) {int i,flag;cout << "dist:";for (i = 0; i < n; ++i)cout << d[i] << " ";cout << endl;cout << "path:";for (i = 0; i < n; ++i)cout << p[i] << " ";cout << endl;cout << "最短路径：" << endl;for (i = 0; i < n; ++i) {flag = i;while (p[flag] != -1) {cout << flag << "->";flag = p[flag];}cout << 0 << endl;}cout << endl;}void Print2(int PATH[][MAX_NUM], int A[][MAX_NUM]){int i, j;for (i = 0; i < 7; ++i) {for (j = 0; j < 7; ++j)cout << A[i][j] << " ";cout << endl;}for (i = 0; i < 7; ++i) {for (j = 0; j < 7; ++j)cout << PATH[i][j] << " ";cout << endl;}}void main() {MGraph<int> G(7, 12);G.Create();cout << "输出边：" << endl;G.Print_Edge();int path[7], dist[7];G.Dijkstra(0, 7, path, dist);Print1(path,dist, 7);int A[7][MAX_NUM], PATH[7][MAX_NUM];G.Floyd(A, PATH);Print2(PATH, A);system("pause");}

运行效果图：