dp斜率优化 锯木厂选址（CEOI 2003）题解

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http://blog.csdn.net/NOIAu/article/details/71775000

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题目：

从山顶上到山底下沿着一条直线种植了n棵老树。当地的政府决定把他们砍下来。为了不浪费任何一棵木材，树被砍倒后要运送到锯木厂。
木材只能按照一个方向运输：朝山下运。山脚下有一个锯木厂。另外两个锯木厂将新修建在山路上。你必须决定在哪里修建两个锯木厂，使得传输的费用总和最小。假定运输每公斤木材每米需要一分钱。

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输入：

输入的第一行为一个正整数n——树的个数（2≤n≤20 000）。树从山顶到山脚按照1，2……n标号。接下来n行，每行有两个正整数（用空格分开）。第i+1行含有：wi——第i棵树的重量（公斤为单位）和 di——第i棵树和第i+1棵树之间的距离，1≤wi ≤10 000，0≤di≤10 000。最后一个数dn，表示第n棵树到山脚的锯木厂的距离。保证所有树运到山脚的锯木厂所需要的费用小于2000 000 000分。

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输出：

输出只有一行一个数：最小的运输费用。

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样例输入：

9
1 2
2 1
3 3
1 1
3 2
1 6
2 1
1 2
1 1

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样例输出：

26

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定义状态dp[i]表示第二个伐木场在i的最小费用

cost[i][j]表示i到j的树木到在j位置的伐木场的最小费用

sumw[i]表示w的前缀和

sumwd[i]表示w*（d的前缀和）

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则有：
dp[i] = min(cost[1][j] + cost[j+1][i] + cost[i+1][n])

cost[i][j] = (sumw[j] – sumw[i-1]) * d[j] – (sumwd[j] – sumwd[i-1])

dp[i] = min(sumw[j] * d[j] – sumw[j] * d[i]) + sumw[i] * d[i] + sumw[n] * d[n] – sumw[i] * d[n] – sumwd[n]
用斜率优化，维护凸包即可

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#define MAXN 20000+10 using namespace std;int q[MAXN],head,tail;int dp[MAXN],sumw[MAXN],sumwd[MAXN],d[MAXN];int sumd[MAXN],n,temp;int final=0x7fffffff;int getx(int i){ return sumw[i]; }int gety(int i){ return sumw[i]*sumd[i]; }int getk(int i){ return sumd[i]; }int getb(int i,int j){ return gety(j)-getk(i)*getx(j); }int main(){    scanf("%d",&n);    for(register int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&sumw[i],&sumd[i+1]);        sumw[i]+=sumw[i-1];sumd[i+1]+=sumd[i];        sumwd[i]=sumwd[i-1]+(sumd[i]-sumd[i-1])*sumw[i-1];    }    n++;    sumwd[n]=sumwd[n-1]+(sumd[n]-sumd[n-1])*sumw[n-1];    int head,tail;    head=0;tail=-1;    q[++tail]=1;    for(int i=2;i<n;i++){        while(head<tail&&getb(i,q[head])>=getb(i,q[head+1]))head++;        dp[i]=sumwd[n]+sumw[q[head]]*(sumd[q[head]]-sumd[i])+sumw[i]*(sumd[i]-sumd[n]);;        final=min(final,dp[i]);        while(head<tail&&(getx(i)-getx(q[tail-1]))*(gety(q[tail])-gety(q[tail-1]))-(getx(q[tail])-getx(q[tail-1]))*(gety(i)-gety(q[tail-1]))>=0)tail--;        q[++tail]=i;    }    printf("%d",final);    return 0;}