Machine Learning第九讲[推荐系统] --（三）低秩矩阵分解

内容来自Andrew老师课程Machine Learning的第九章内容的Low Rank Matrix Factorization部分。

一、Vectorization: Low Rank Matric Factorization（向量化： 低秩矩阵分解）

我们仍然使用之前movie的例子：

将这些数据写成矩阵的形式，即右边的Y矩阵，又因为用户j对电影i的评分预测值为：

因此Y矩阵对应的预测值应为：

我们记：

则：

 = 

上述就是协同矩阵的向量化。

那么我们应该怎样来找出相关商品呢？

首先对于每一个产品i，我们找出其特征向量

找出使两个商品特征比较相同的产品，即可以找出使得最小的五个商品，则这5个商品就是和i最相似的5个商品，既可以作为相关产品推荐。

二、Implementational Detail: Mean Normalization（实现细节： 均值归一化）

假设我们有下面一组数据：

即有一个用户Eve没有对任何电影进行评价，这时候如果我们使用之前的方法测Eve对每部电影的评分，则最小化图上的公式，因为对于任意i，Eve都没有评分过，因此①式r(i, j)=1条件不满足，因此①对于最小化Eve的数据没有作用，②也没有作用，因此对于最小化Eve数据有作用的便是③式，即，因此二者都为0，因此，于是对于Eve的预测值：，即Eve对任何电影的预测值都为0。虽然结果是得出来了，但是这个结果我们没办法用来推荐，因为对所有的电影，其都为0。

因此，我们引入归一化：

即对于某一部电影，利用已经评过分的值（？不计算在内），计算出平均分，记为μ，于是归一化矩阵为原来的Y的每一个数减去这一行（这一部电影）对应的平均值，得到新的Y，如图片右侧所示（？的仍为？），利用这个新的Y矩阵学习θ和x的值。则对于Eve，之前关于最小化的分析仍成立，即

归一化之后的预测值公式为：

因此对于Eve的预测值为：

其实对于这个预测结果我们是可以接受的，因为我们不知道Eve的喜好，因此把她的评分预测为平均水平。

特殊情况：若出现有一部电影无评分的情况，则可以考虑使每列的均值为0，即计算每列的均值，用Y减去对应列的均值得到新的Y矩阵。