剑指offer刷题总结

快速幂

求a的b次方（b为整型）：

不妨记b的二进制为 bnbn−1...b0，其中 bi=0 or 1，则：

ab=abn2n+...+b020=(a20)b0...(a2n)bn

可以看到新的底数 a2i+1=a2ia2i，根据这个规律可以写出快速幂的代码(仅考虑 b>0 的情况)：

public double Power(double a, int b) {    double base = a;    double result = 1;    while(b != 0){        //判断b二进制末位是1,即bi是1的情况下，result需要乘上新的底数        if((b & 1) == 1) result * = base;         //按照规律更新底数        base * = base;        //将b的二进制右移1位，即删掉原始末位        b >> = 1;    }       return result;}

相比于循环 b 次做乘法，快速幂的时间复杂度仅为O(logb)。

字典序全排列

以元素互异的字符集{p1,p2,…,pn}为例，输出它的全排列：
假设字符元素之间存在某种偏序关系，例如整数集可以利用数值大小进行排序。全排列可以看成由字符集所有元素组成的字符串，如何不重复有序地输出该字符集的所有全排列，关键在于如何根据给定的全排列有规则地输出下一个全排列。

以{1,2,3}为例，其全排序为123,132,213,231,312,321，可以看到这里全排列的枚举方式保证了全排列的递增趋势，我们可以将这个递增的规则抽象出全排列生成的规则，从而避免重复枚举，或者遗漏。

根据上述例子，可以简述一下字典序全排列的步骤：

• 记当前的全排列p=p1...pn
• 找到j=max{i|pi<pi+1},k=max{i|pi>pj}
• 交换换pj,pk
• 将pj+1...pn这部分后缀进行翻转

可以证明一下这样得到的全排列，是大于当前全排列的最小的全排列（不妨假设字符集为正整数集）：

1. 当i>j, 则pi>pi+1，且k>j(∵pj+1>pj)
2. 因为下标为j之前的部分没有发生改变，不妨忽略，记后缀部分为p′=pj..pk...pn,∵pj+1...pn为递减列，∴p′>pj(∗),其中pj(∗)是指以pj开头的任意后缀，当然后面的字符为pj+1...pn的全排列
3. pk为后续字符中大于pj的最小字符，∴下一个全排列应为pk(∗)
4. 将pj与pk交换后，后面仍为递减列，将其翻转则为递增列，为这些字符组成的最小的全排列