分形理论入门

分形

• 什么是分形？

  分形理论(Fractal Theory)是当今十分风靡和活跃的新理论、新学科。“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它有frature(分裂)fraction（分数）的双重意义，是一门以不规则几何形态为研究对象的新几何学，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形的概念是美籍数学家曼德尔布洛特（法语：Benoit B. Mandelbrot）首先提出的。他的著作有《大自然的分形几何学》 ，以新几何学的方式看待自然界的种种形态。

  在混沌的表面下，其隐藏着某种秩序，它可以用公式来描述海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等。恰是由于它们有着不同的公式，因而呈现出了不同种几何图案。在科学研究中，对许多非规则性对象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要 一种新的几何学来描述。所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几何。

  
  
  
  
  

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• 我们该如何理解分形呢？

  1967年，Mandelbrot发表的题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》的著名论文里，利用分形测量海岸线长度的粗糙度特征。理解分形我们可以重新思考数学中的一个基本概念：维数。

  我们先看通常的几何，一维对象如直线；二维对象如一个有面积的方形；三维对象如一个立方体。但是是否会有某些对象有某种介于自然数之间的维数，如2与3之间的某个数呢？

  其实，分形就是这样的。可形象表现如下：

  
  ————————————3维
  
  
  ————————————-2.168维
  
  ————————————-2.268维
  
  ————————————-2.433维
  
  ————————————-2.725维
  
  ————————————-2.895维

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• 那再深入理解分形吧

  分形维数及其相似性都是数学本身的基本组成部分，分形几何不过是给了我们一种新的及其准确的方式去看待我们生存的生动世界。

  1920年法国数学家加斯顿-朱丽叶（Gaston-Julia）观察到从一个简单公式触发，通过一个反馈回路，不断迭代后可以得到一系列集合，这些集合被称为朱丽叶集。
  分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。

  

  1980年曼德尔布洛特创造了自己的方程式:
  

  

  这个方程包含了所有的朱丽叶集，全部包含在仅仅一张图中。当曼德博迭代他的方程式时，他得到了字节的一个数集，且在计算机是绘制它的所有朱丽叶集的“路线图”。这就成为了分形几何标志物的曼德尔布洛特集。如下图：

  
  

  它们在某些区域相交，看上去有许多小装饰物在里面，像黑甲虫状的物体不断放大后会不断出现一个个相似的图案。

  
  

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• 分形应用

  分形不仅在衣物设计、生态模拟等方面有很多应用，而且它在电子设备、医学领域有相当多的应用。

  
  
  

  如分形设计使天线变小且使它们接受到更广泛的频率

  
  
  
  

  又如医学研究发现健康心跳的波形具有分形结构等等

  

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这是一只编程小喵，经常出没在喵屋[AudioMiao]中，挖挖[喵的Github]，瞧瞧世界。