一周搞定期末考系列之《算法分析与设计》
来源:互联网 发布:即时语音翻译软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 11:37
转眼就到了期末复习算法的时候了
真的是一点都不慌啊
算法分析与设计这门课,由于是一门选修课,而且我对算法分析没有过多的热爱,所以没有对这门课程进行全方位的深度的学习与复习,但是我相信,将下列算法的全部思想理解清楚后,如果仅仅是为了考试,应该还是不虚的嘿嘿
具体例题思路分析
一、二分搜索(折半查找)
从前有一个故事是这样的,抱着一沓书出图书馆的时候,门响了,在我一本一本的扫描看是那本书没有借的时候,图书馆大妈过来,麻溜的把我的书分成两叠,一堆一堆的扫,然后拿着那本《算法分析与设计》回头看了我一眼,仿佛在说:二分查找都不会?(其实这并不是二分查找嘿嘿)
定义:
优点是比较次数少,查找速度快,平均性能好
缺点是要求待查表为有序表,且插入删除困难
因此,折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
- 假设表中元素是按升序排列,将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较,如果两者相等,则查找成功;
- 否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表,如果中间位置记录的关键字大于查找关键字,则进一步查找前一子表,否则进一步查找后一子表。
- 重复以上过程,直到找到满足条件的记录,使查找成功,或直到子表不存在为止,此时查找不成功。
时间复杂度:
当第一次选取中间位置时,选取的元素等于所要查找的元素则时间复杂度最短,为O(1)
当在最坏情况下,循环被执行O(logn)次
算法实现:
在这里推荐一下:二分查找有几种写法?它们的区别是什么?
- 回答作者: 胖胖 https://zhihu.com/question/36132386/answer/155438728
在答主的回答里面提到了许多二分算法存在的坑,这也就是为什么说十个二分九个错的原因了嘿
这里我就直接贴上代码了
/** * Created by Peter Chen on 2017/5/18. * 常规算法 */function firstOccurrence(arrays,target){ var high = arrays.length - 1; var low = 0; while(low <= high){ var mid = low + (high - low) / 2; if(arrays[mid] >= target) high = mid - 1; if(arrays[mid] < target) low = mid + 1; } return low;}
/** * Created by Peter Chen on 2017/5/18. * 递归算法 */function firstOccurrenceRecur(arrays,target,high,low){ if(low > high) return low; var mid = low + (high - low) / 2; if(arrays[mid] >= target) firstOccurrenceRecur(arrays,target,mid - 1,low); else{ firstOccurrenceRecur(arrays,target,high,mid + 1); }}
二、合并排序(归并排序)
定义:
原理:归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法(Divide and Conquer)的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表,称为二路归并。
优势:使用它对两个己有序的序列归并,将有无比巨大的优势。其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlogn),且对数据的有序性不敏感。
缺点:需要与待排序序列一样多的辅助空间,所以数据节点数据量大,则不适合使用
时间复杂度:
最坏时间复杂度 :O(nlogn)
最好时间复杂度 :O(nlogn)
空间复杂度 :O(n)
与快速排序类似
算法实现:
原始数组:{3,8,2,4,1,9,6,5}
初始关键字:[3] [8] [2] [4] [1] [9] [6] [5]
一趟归并后:[3 8] [2 4] [1 9] [5 6]
二趟归并后:[2 3 4 8] [1 5 6 9]
三趟归并后:[1 2 3 4 5 6 8 9]
/** * Created by Peter Chen on 2017/5/18. * 自上而下的归并排序 */function mergeSort(arr) { var len = arr.length; if(len < 2) return arr; var mid = Math.floor(len / 2), left = arr.slice(0,mid), right = arr.slice(mid); return merge(mergeSort(left),mergeSort(right));}function merge(left,right) { var result = []; while(left.length > 0 && right.length > 0){ if(left[0] <= right[0]) result.push(left.shift()); else result.push(right.shift()); } while(left.length) result.push(left.shift()); while(right.length) result.push(right.shift()); return result;}
三、快速排序
定义:
原理:快速排序(Quicksort)是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。
优势:插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时,效率高,即可以达到线性排序的效率。
缺点:不稳定,在序列有序或者逆序的情况下最不利于发挥其长处
时间复杂度:
快速排序的最坏运行情况是O(n²)
平均期望时间是O(nlog n)
算法实现:
推荐阅读文章:http://developer.51cto.com/art/201403/430986.htm 文章内容非常浅显易懂!!
/** * Created by Peter Chen on 2017/5/18. */function quickSort(arr,left,right) { var len = arr.length, partitionIndex; left = typeof left != 'number' ? 0 : left; right = typeof right != 'number' ? len - 1 : right; if(left < right){ partitionIndex = paitition(arr,left,right); quickSort(arr,left,partitionIndex - 1); quickSort(arr,partitionIndex + 1,right); } return arr;}function partition(arr,left,right) {//分区操作设定基准值 var pivot = left, index = pivot + 1; for(i = index;i <= right;i++){ if(arr[i] < arr[pivot]){ swap(arr,i,index); index++; } } swap(arr,pivot,index - 1); return index - 1;}function swap(arr,i,j) { var temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp;}
书本算法
template <class Type>void RandomizedQuickSort(Type a[], int p, int r)//给定数组a,数组起始和终止位置p,r{ if (p < r) { int q = RandomizedPartition(a, p, r);//随机选取起始点,此时已排好第一次 RandomizedQuickSort(a, p, q - 1);//对前半部分进行递归排序 RandomizedQuickSort(a, q + 1, r);//对后半部分进行递归排序 }}int RandomizedPartition(Type a[], int p, int r) { int i = Random(p, r); Swap(a[i], a[p]);//将选出的元素放置到数组头 return Partition(a, p, r);//进行第一次快速排序}int Partition(Type a[], int p, int r) { int i = p, i = r + 1;//给哨兵赋初值 Type x = a[p];//和x进行大小比较 while (true) { while (a[++i] < x && i < r);//从前找到比X大的 while (a[--j] > x);//从后找到比X小的 if (i >= j) break;//判断两哨兵是否相遇 Swap(a[i], a[j]);//两者交换 } a[p] = a[j]; a[j] = x;//将比较元素放置数组中间 return j;//返回第一次快速排序中间位置的元素}
四、矩阵连乘(动态规划)
定义:
优化思路: A*B*C = (A*B)C = A(B*C)[即寻找最小乘法数]
条件: 具有优化子结构,具有重叠子问题
时间复杂度:
O(p*q*r)=O(n3)
空间复杂性为O(n3)
算法实现:
思路:建立一个矩阵A[i,j]
每一项m[i,j]=计算Ai~jde 最小乘法数
则m[1,n]=计算A1~n的最小乘法数
m[i,i]=计算Ai~i的最小乘法数
m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj
五、最长公共子序列(动态规划)
LCS(Longest Common Subsequence)
定义:
一个数列 ,如果分别是两个或多个已知数列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则 称为已知序列的最长公共子序列。
时间复杂度:
(i,j)两层循环,i循环m步,j循环n步 复杂度为O(mn)
算法实现:
六、01背包(动态规划)
定义:
你穿越到了神秘海域中,发现了各种各样的宝藏(W1,W2,W3,W4)价值(P1,P2,P3,P4)。但是此时你哥对你说,你只有一个背包(容量为W),怎么样才能把最大价值的东西带回家咧?并且必须带完整的物品(01)。
优化思路:其实说到底,也就是你看见东西往不往包里放而已。
怎么判断呢?当然是放了的价值和不放的价值那个更大,取那个对吧。
状态转移方程为f[i][v]=max{f[i-1][v](没放),f[i-1][v-c[i]]+w[i](放了)}(这件物品的体积是c[i],价值是w[i])
条件:具有优化子结构,具有重叠子问题
时间复杂度:
O(VN)
算法实现:
function max(a, b) { return (a > b) ? a : b;}function dKnapsack(capacity, size, value, n) { //初始化 var K = []; for(var i = 0; i <=capacity + 1; i++) { K[i] = []; } //第一层循环商品个数 for(var i = 0; i <= n; i++) { //第二层循环背包容量 for (var w = 0; w <= capacity; w++) { if(i == 0 || w == 0) {//初始为0 k[i][w] = 0; } else if (size[i - 1] <= w) {//若可以放入则选择较大的放入 K[i][w] = max(value[i - 1] + K[i - 1][w-size[i - 1]],K[i - 1][w]); } else {//若无法放下,则不放入 K[i][w] = K[i - 1][w]; } putstr(K[i][w] + " "); } print(); } return K[n][capacity];}//测试var value = [4, 5, 10, 11, 13];var size = [3, 4, 7, 8, 9];var capacity = 16;var n = 5;print(dKnapsack(capacity, size, value, n));
七、哈夫曼编码(贪心算法)
定义: 使用变长码根据字符出现的频率进行编码,可以达到文件压缩的效果
前缀码:任意字符的代码都不是其他字符
特点:具有贪心选择性,最优子结构
时间复杂度:
最小堆实现:初始化优先队列需要O(n),由于最小堆的DeleteMin和Insert运算均需O(logn)时间,n-1次的合并共需要O(nlogn)计算时间,因此,关于n个字符的哈夫曼算法的计算时间为O(nlogn)
算法实现:
template <class Type>class Huffman { friend BinaryTree<int> HuffmanTree(Type[], int); public : operator Type() const { return weight; } private: BinaryTree<int>tree; Type weight;};BinaryTree<int>HuffmanTree(Type f[], int n){ //生成单节点树,并初始化 Huffman<Type> *w = new Huffman<Type>[n + 1]; BinaryTree <int>z, zero; for (int i = 1; i <= n; i++) { z.MakeTree(i, zero, zero); w[i].weight = f[i]; w[i].tree = z; } //建立优先队列 MinHeap<Huffman<Type>>Q(1); Q.Initialize(w, n, n); //反复合并最小序频率树 Huffman<Type>x, y; for (int i = 1; i < n; i++) { Q.DeleteMin(x); Q.DeleteMin(y); z.MakeTree(0, x.tree, y.tree); x.weight += y.weight; x.tree = z; Q.Insert(x); } Q.DeleteMin(x); Q.Deactivate(); delete[]w; return x.tree;}
八、单源最短路径(Dijkstra算法)
定义:
一个指定点到其余各点的最短路径
时间复杂度:
通过矩阵存储有向图边的数据,则时间复杂度为O(N2)
算法实现:
参见我的另外一篇文章:
http://blog.csdn.net/weixin_31347831/article/details/72520615
九、旅行售货员问题
定义:
时间复杂度:
算法实现:
十、最小生成树
定义: 设G=(V,E)是无向连通带权图,即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的一个子图G·是一棵包含了G的所有顶点的数,则称G·为G的生成树。生成树上各边权的总和称为G的最小生成树。
Prim:按照更新顶点Lowcost排序
Kruskal:按照权递增排序
时间复杂度:
Prim算法的时间复杂度为O(n2)
Kruskal算法的时间复杂度在图的边数为e时,为O(eloge)
当e=欧米伽(n2)时,K算法比P算法差,但当e=o(n2)时,Kruskal算法那比Prim算法好
算法实现:
PRIM算法
template<class Type>void Prim(int n, Type **c){ Type lowcost[maxint]; int closest[maxint]; bool s[maxint]; s[1] = true; for (int i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = c[1][i];//表示以i为终点的最小权值 closest[i] = 1;//初始化和1相邻 s[i] = false;//都没连接 } for (int i = 1; i < n; i++) {//重复n-1次,完成算法 Type min = inf; int j = 1; for(int k = 2; k <= n;k++)//遍历所有没有连接的点,找出min,并连接 if ((lowcost[k] < min) && (!s[k])) { min = lowcost[k]; j = k; } cout << j << '' << closest[j] << endl; s[j] = true; for(int k = 2;k <=n;k++)//根据连接的点进行更新 if ((c[j][k] < lowcost[k] && (!s[k])) { lowcost[k] = c[j][k]; closest[k] = j; } }}
Kruskal
class EdgeNode { friend ostream & operator << (ostream&, EdgeNode<Type>); friend bool Kruskal(int, int, EdgeeNode<Type>*, EdgeNode<Type>*); friend void main(void);public: operator Type() const { return weight; }private : Type weight; int u, v;}bool Kruskal(int n, int e, EdgeNode<Type>E[], EdgeNode<Type> t[]){ MinHeap<EdgeNode<Type>>H(1); H.Initialize(E, e, e); UnionFind U(n); int k = 0; while (e && k < n - 1) {//按权递增,找出连接两个不同分支的T1T2中的顶点时,用边形成连通分支 EdgeNode<int > x; H.DeleteMin(x); e--; int a = U.Find(x, u); int b = U.Find(x, v); if (a != b) { t[k++] = x; U.Union(a, b); } } H.Deactivate(); return (k == n - 1);}
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