Topcoder 2016 TCO Algorithm Algo Semifinal 2 Hard

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题意：对于一个大小为k的线性基，可以构造出2 ^ k种不同的异或，其中第rank[i]小的为value[i]，求有多少个线性基满足要求。

题解：

注意分析线性基的性质

1、显然rank和value是可以直接消的，先把rank消成主对角线和一些自由元；

2、rank[i]的最高位对应的基(的位置)一定是value[i]的最高位，记为must

3、f(i, j)表示当前考虑第i位(前i - 1位已经考虑完了)，考虑第j个基(前j - 1个基已经考虑完了)的方案数

4、考虑从f(i, j)转移到f(i + 1, j / j + 1)

显然是f(i + 1, j) += f(i + 1, j + 1)，我们只考虑f(i, j)到f(i + 1, j + 1)

先判是否i作为第j + 1个基是合法的，如果合法如果must[j] == i，直接转移

如果must[j]没有限制，那么这个基里有2 ^ (i - j)种放法(共有2 ^ i种，j个基必须按照要求放)

最好记一个g(i, j)表示f(i, j)是否合法，这样不会出现f(i, j) % mod = 0而f(i, j) != 0的情况，否则判inf可能会挂

#include <bits/stdc++.h>#define xx first#define yy second#define mp make_pair#define pb push_back#define fill( x, y ) memset( x, y, sizeof x )#define copy( x, y ) memcpy( x, y, sizeof x )using namespace std;typedef long long LL;typedef pair < int, int > pa;const int mod = 1e9 + 7;int f[35][35], must[35];bool g[35][35], lb[35];inline void inc(int &x, int y) { x += y; if( x >= mod ) x -= mod; }class XorRank{public:int count(int m, vector < int > rk, vector < int > val){for( int i = 0 ; i < m ; i++ ) must[ i ] = -1;int n = rk.size(), rk_max = 0, inf = 0;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ) rk_max = max( rk_max, rk[ i ] );inf = rk_max < ( 1 << m - 1 );for( int i = m - 1 ; ~i ; i-- )for( int j = 0 ; j < n ; j++ ) if( !lb[ j ] && rk[ j ] >> i & 1 ){lb[ j ] = 1;for( int k = 0 ; k < n ; k++ ) if( j ^ k ) if( rk[ k ] >> i & 1 ) rk[ k ] ^= rk[ j ], val[ k ] ^= val[ j ]; break;}for( int i = 0 ; i < n ; i++ ) if( ( !rk[ i ] && val[ i ] ) || ( rk[ i ] && !val[ i ] ) ) return 0;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ) if( rk[ i ] ){int high_bit = -1, high_val = -1;for( int j = m - 1 ; ~j ; j-- ) if( rk[ i ] >> j & 1 ) { high_bit = j; break; }for( int j = 29 ; ~j ; j-- ) if( val[ i ] >> j & 1 ) { high_val = j; break; }must[ high_bit ] = high_val;}f[ 0 ][ 0 ] = g[ 0 ][ 0 ] = 1;for( int i = 0 ; i < 30 ; i++ )for( int j = 0 ; j <= m ; j++ ) if( g[ i ][ j ] ){g[ i + 1 ][ j ] = 1;inc( f[ i + 1 ][ j ], f[ i ][ j ] );bool flag = true;for( int k = 0 ; k < n ; k++ )if( ( rk[ k ] >> j & 1 ) ^ ( val[ k ] >> i & 1 ) ) { flag = false; break; }if( flag ){if( must[ j ] == i ) inc( f[ i + 1 ][ j + 1 ], f[ i ][ j ] ), g[ i + 1 ][ j + 1 ] = 1;if( !~must[ j ] ) inc( f[ i + 1 ][ j + 1 ], ( 1LL << i - j ) * f[ i ][ j ] % mod ), g[ i + 1 ][ j + 1 ] = 1;}}if( !g[ 30 ][ m ] ) return 0;if( inf ) return -1;return f[ 30 ][ m ];}};