KMP算法

1.原始的字符串匹配方法

算法基本思想：从主串S的第pos个字符起和模式的第一个字符比较之，若相等，则继续逐个比较后续字符；否则从主串的下一个字符起再重新和模式的字符比较之。依次类推，直至模式T中的每个字符依次和主串S中的一个连续的字符序列相等，则称匹配成功，否则称匹配不成功。

这种匹配方法理解起来很简单，中心思想就是逐个比较字符，每当一趟匹配过程中出现字符不等时，主串的比较指针i需要回溯。时间复杂度为O(n*m)。n为主串的长度，m为匹配的子串的长度。

2.KMP算法

该算法相比原始的字符串匹配方法，其效率更高，省去了一些冗余的、重复的匹配步骤。

算法基本思想：在进行主串和子串匹配过程中，每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时，不需要回溯i指针，而是利用已经得到的“部分匹配”的结果将模式向右“滑动”尽可能远的一段距离，继续进行比较。

该算法的关键在于当每次匹配不等时，如何确定子串向右“滑动”的距离。其实该“滑动”距离与主串的结构无关，其取决子串的结构中是否存在有重复的部分。假设主串为s1s2…sn，模式串为p1p2…pn，当主串中第i个字符和模式中第j个字符匹配失败时，主串中第i个字符（i指针不回溯）应与模式中哪个字符再比较？

假设此时应与模式中第k（k<j）个字符继续比较，则模式中前k-1个字符的子串必须满足下列关系式，且不可能存在k’>k也满足下列关系式

                                                               “p1p2…pk-1”=“si-k+1si-k+2…si-1”

而已经得到的“部分匹配”的结果是

                                                              “pj-k+1pj-k+2…pj-1”=“si-k+1si-k+2…si-1”

联合以上两式得

                                                             “p1p2…pk-1”= “pj-k+1pj-k+2…pj-1”

上述公式表明，若模式串中存在前k-1个字符和模式串中后k-1个字符相等（前缀和后缀相同），那么当下次匹配时，只需将模式串中第k个字符与主串中的第i个字符比较即可（即下次匹配时j=k），而不用将j回溯到模式串的首字符。由此可导出next[j]=k函数，表明当模式中第j个字符与主串中第i个字符匹配失败时，在模式串中需重新和主串第i个字符进行比较的字符的位置。

                                            

获取模式串各字符的next函数值的代码如下：

void getnext(char s[],int next[]){int i=1,j=0;    next[1]=0;    //初始化next函数 while (i<s[0])   //s[0]为串的长度 {if (j==0||s[j]==s[i])   //s[j]为前缀单个字符，s[i]为后缀单个字符，当两者相等时，即前缀和后缀匹配成功，next[i+1]=next[i]+1。{                     //或者当j=0时，说明指针j回溯到头仍然无法找到匹配的前缀和后缀，此时next[i+1]=0+1=1； j++;i++;next[i]=j;}else{j=next[j];     //前缀和后缀不等，指针j向前回溯 }} } 

完整KMP算法代码如下：

#include <stdio.h>#include <string.h>//KMP算法int next[1000]; void getnext(char s[],int *next){int i=1,j=0;    next[1]=0;    //初始化next函数 while (i<s[0])   //s[0]为串的长度 {if (j==0||s[j]==s[i])   //s[j]为前缀单个字符，s[i]为后缀单个字符，当两者相等时，即前缀和后缀匹配成功，next[i+1]=next[i]+1。{                     //或者当j=0时，说明指针j回溯到头仍然无法找到匹配的前缀和后缀，此时next[i+1]=0+1=1； j++;i++;next[i]=j;}else{j=next[j];     //前缀和后缀不等，指针j向前回溯 }} } int Index(char S[],char s[],int pos){int i=pos,j=1;if (i<1 ||i>S[0]) return 0;getnext(s,next);          //获取子串各字符的next函数值 while(i<=S[0] && j<=s[0])  {if (j==0||S[i]==s[j]) //如果对应字符相等则指针同时下移，当模式串的指针j回溯到头，在模式串中找不到与主串第i个字符对应的字符时 {                    // 则两指针同时下移 i++;j++;}else                 // 匹配字符不等，回溯j指针 {j=next[j];}}if (j>s[0])         //j大于子串长度，则匹配成功，返回首字符位置 {return i-s[0];}else              //匹配失败，返回0 {return 0;}}int main(){char S[1000],s[1000];int pos;printf("输入主串\n");scanf("%s",S+1);*S=strlen(S+1);printf("输入要查找的串\n");scanf("%s",s+1);*s=strlen(s+1);printf("输入查找的起始位置\n"); scanf("%d",&pos);printf("在主串中的位置为%d\n",Index(S,s,pos)); return 0;}

3.改良的KMP算法

在匹配过程中，KMP算法还是有缺陷的。缺陷在于匹配不符情况下，j指针向前回溯的步骤可能会产生冗余。列如当主串S=“aaaabcde”，模式串s=“aaaaax”时，此时模式串的各字符的next函数值为012345。当匹配到主串第五个字符（i=5），模式串第5个字符（j=5）时，‘b’不等于‘a’，此时j指针就应该回溯。按照next数组，指针j回溯到4，即主串第5个字符与模式串的第4个字符比较，然后不等，指针j又回溯到3，继续比较，一直到指针j回溯到1，发现不等后，i指针才加1。在此过程中，模式串中第1,2,3,4个字符都与第5个字符字符‘a’相等，因此主串第5个字符和模式串中第1,2,3,4进行比较的步骤是多余的。为了改良这个缺陷，我们将首字符的next函数值去取代和它相等字符后续的next函数值，这样模式串各字符新的next函数值分别为000005，就避免了冗余步骤的产生。

获取改良的nextval数组如下：

void getnextval(char s[],int *nextval){int i=1,j=0;    nextval[1]=0;    //初始化nextval函数 while (i<s[0])   //s[0]为串的长度 {if (j==0||s[j]==s[i])   {                    j++;i++;if (s[i]!=s[j])   //若当前字符和要回溯的字符不等，则正常记录j值 {nextval[i]=j;}else            //若相等，则当前字符的nextval值等于要回溯字符的nextval值 {nextval[i]=nextval[j];}}else{j=nextval[j];     //前缀和后缀不等，指针j向前回溯 }} } 

4.总结

相比原始的字符串匹配算法，KMP算法时间复杂度仅为O(n+m)，其算法效率得到了大幅度的提高。但是该算法的优异性也只是体现在当主串和模式串之间存在许多部分匹配的情况下，否则该算法和原始的字符串匹配算法差异并不明显。