树的重心及其一些性质。poj3107 && poj 1655

定义
树的重心：删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。即以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。（所有子树的最大块的节点最小）

性质

性质 1 ：树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。
性质 2 ：把两棵树通过某一点相连得到一颗新的树，新的树的重心必然在连接原来两棵树重心的路径上。
性质 3 ：一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。

求法

DFS  

   点u ，找到所有u的儿子树中 最大节点数，和u的父亲树 n-son[u]-1;  取两者最大值！ 就可以找到删除节点u，可以得到的子树最大块。

          维护删除所有节点的最小值即可.

给出两个模板题

POJ 3107  http://poj.org/problem?id=3107

#include <iostream>#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>#include<queue>using namespace std;const int maxn=100100;int head[maxn];struct node{    int to,next;}edge[maxn];int cnt=0;int maxson[maxn];int son[maxn];int ans;int n;bool vis[maxn];void add(int u,int v){    edge[cnt].to=v; edge[cnt].next=head[u] ;head[u]=cnt++;}void init(){    cnt=0;    ans=maxn*100;    memset(head,-1,sizeof(head));    memset(vis,0,sizeof(vis));}void dfs(int u){   vis[u]=1; son[u]=0; maxson[u]=0;   for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)   {        int v=edge[i].to;        if(!vis[v])        {            dfs(v);            son[u]+=(son[v]+1);            maxson[u]=max(maxson[u],son[v]+1);        }   }    maxson[u]=max(maxson[u],n-son[u]-1);    if(ans>maxson[u]) ans=maxson[u];}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {         init();         for(int i=1;i<n;++i)         {            int v,u;            scanf("%d%d",&u,&v);            add(u,v); add(v,u);         }         dfs(1);         int flag=1;         for(int i=1;i<=n;++i)         {             if(maxson[i]!=ans) continue;             if(flag)             {                 flag=0;                 printf("%d",i);             }             else printf(" %d",i);         }         printf("\n");    }    return 0;}

POJ 1655 http://poj.org/problem?id=1655

#include <iostream>#include<algorithm>#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;const int maxn= 40020;bool vis[maxn];int head[maxn];int son[maxn];struct node{    int to,next;}edge[maxn*2];int cnt=0;int ans,pos;int n;void add(int u,int v){    edge[cnt].to=v; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;}void init(){    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(head,-1,sizeof(head));    cnt=0;    ans=maxn*maxn;}void dfs(int u){    vis[u]=1; son[u]=0;    int t=0;    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)    {        int v=edge[i].to;        if(!vis[v])        {            dfs(v);            son[u]=son[u]+son[v]+1;            t=max(t,son[v]+1);        }    }    t=max(t,n-1-son[u]);    if(t<ans||(t==ans&&pos>u))    {        ans=t; pos=u;    }}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d",&n);        init();        for(int i=1;i<n;++i)        {            int a,b;            scanf("%d%d",&a,&b);            add(a,b); add(b,a);        }        dfs(1);        printf("%d %d\n",pos,ans);    }    return 0;}