[DP]357. Count Numbers with Unique Digits

题目：

Given a non-negative integer n, count all numbers with unique digits, x, where 0 ≤ x < 10ⁿ.

Example:
Given n = 2, return 91. (The answer should be the total numbers in the range of 0 ≤ x < 100, excluding[11,22,33,44,55,66,77,88,99])

题目分析：

1、比较容易看出，题目要求我们根据给出的非负数 n 求出在 0 ≤ x < 10ⁿ 范围中所有满足每一位数都不相同的整数x个数；

2、首先分析对于让每一位数都不相同的计算方法，这是一个排列组合问题。入手的角度有两种：直接算出每一位的都不重复的数的个数、先算出有重复的数的个数，再用总的整数数量来作差。对于后者，我们需要对重复的位数和位置进行讨论才能求出的答案，过程很复杂且难于转化为代码；对于前者，如果整数的位数确定，那么我们只需要每一次添加进一个数让他与每个数都不相同即可，如果之前已经有N个数（N < n且N < 10），那么再添加进一个数不重复的概率就是N/10，当然如果N >= 10了，那么已经把0 - 9的所有数字已经占用，则无论添加进什么数都会导致重复。经过这样一轮比较，很明显应该用第一种算法计算固定位数的无重复数字的个数。

3、有了2中的算法，还需要将 0 ≤ x < 10ⁿ 中的所有数分割为几个不同的数字长度区间[0 - 9]、[10 - 99]……，这里就很容易发现这些区间在n取不同值的时候的划分规则是相同的，具体而言这个过程是覆盖了了更小n的划分区间，那么这里就可以利用动态规划来建立n = n0和n = n0 - 1的关系，利用n - 1的结果来求的n的答案。

4、在具体实现中有几个需要注意的地方：

      1）题目要求的n为非负数，所以要考虑到n = 0和n = 1的情况，作为动态规划终止条件n = 0时返回1，即 0 ≤ x＜1 中有一个数满足条件，即0这个数；

      2）当n > 10时，由于已经不可能存在更多的新增符合条件的数，那么直接取n = 10的结果作为答案即可，无需做无用的递归；

      3）在每个区间运算过程中有很多参数都可以约去，最后的表达式比较简单，但是需要细致的化简。

代码：

int p(int n){    int mul = 1;    for(int i = 9; i >= 10 - n; i --)        mul *= i;    return mul;    }class Solution {public:    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {        if(n == 0)            return 1;        else if(n <= 10)            return countNumbersWithUniqueDigits(n - 1) + 9 * p(n - 1);        else            return countNumbersWithUniqueDigits(10);    }};