仿射变换

来源：互联网发布：程序员年薪百万要多久编辑：程序博客网时间：2024/05/16 08:30

一个任意的仿射变换都能表示为 乘以一个矩阵 (线性变换) 接着再 加上一个向量 (平移).
综上所述, 我们能够用仿射变换来表示:
1. 旋转 (线性变换)
2. 平移 (向量加)
3. 缩放操作 (线性变换)
你现在可以知道, 事实上, 仿射变换代表的是两幅图之间的关系 .
我们通常使用 $2 \times 3$ 矩阵来表示仿射变换.
$A = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{bmatrix}_{2 \times 2} B = \begin{bmatrix} b_{00} \\ b_{10} \end{bmatrix}_{2 \times 1} M = \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & b_{00} \\ a_{10} & a_{11} & b_{10}\end{bmatrix}_{2 \times 3}$
考虑到我们要使用矩阵 $A$ 和 $B$ 对二维向量 $X = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ 做变换, 所以也能表示为下列形式:
$T = A \cdot \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} + B$ or $T = M \cdot [x, y, 1]^{T}$
$T = \begin{bmatrix} a_{00}x + a_{01}y + b_{00} \\ a_{10}x + a_{11}y + b_{10} \end{bmatrix}$

好问题. 我们在上文有提到过仿射变换基本表示的就是两幅图片之间的联系 . 关于这种联系的信息大致可从以下两种场景获得:
1. 我们已知 $X$ 和T 而且我们知道他们是有联系的. 接下来我们的工作就是求出矩阵 $M$
2. 我们已知 $M$ and $X$ . 要想求得 $T$ . 我们只要应用算式 $T = M \cdot X$ 即可. 对于这种联系的信息可以用矩阵 $M$ 清晰的表达 (即给出明确的2×3矩阵) 或者也可以用两幅图片点之间几何关系来表达.
让我们形象地说明一下. 因为矩阵 $M$ 联系着两幅图片, 我们以其表示两图中各三点直接的联系为例. 见下图:
点1, 2 和 3 (在图一中形成一个三角形) 与图二中三个点一一映射, 仍然形成三角形, 但形状已经大大改变. 如果我们能通过这样两组三点求出仿射变换 (你能选择自己喜欢的点), 接下来我们就能把仿射变换应用到图像中所有的点.

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