#HDU3507#Print Article(DP+斜率优化)

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Problem Description

Zero has an old printer that doesn't work well sometimes. As it is antique, he still like to use it to print articles. But it is too old to work for a long time and it will certainly wear and tear, so Zero use a cost to evaluate this degree.
One day Zero want to print an article which has N words, and each word i has a cost Ci to be printed. Also, Zero know that print k words in one line will cost

M is a const number.
Now Zero want to know the minimum cost in order to arrange the article perfectly.

 

Input

There are many test cases. For each test case, There are two numbers N and M in the first line (0 ≤ n ≤500000, 0 ≤ M ≤ 1000). Then, there are N numbers in the next 2 to N + 1 lines. Input are terminated by EOF.

 

Output

A single number, meaning the mininum cost to print the article.

 

Sample Input

5 559575

 

Sample Output

230

题目大意：输出N个数字a[N]，输出的时候可以连续的输出，每连续输出一串，它的费用是 “这串数字和的平方加上一个常数M”。n<=500000

设dp[i]表示输出到i的时候最少的花费，sum[i]表示从a[1]到a[i]的数字和。
dp[i]=dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2

设k<j<i。如果在j的时候决策要比在k的时候决策好，那么也是就是dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2。
两边移项一下，得到：(dp[j]+sum[j]^2-(dp[k]+sum[k]^2))/(2*(sum[j]-sum[k]))<sum[i]。我们把dp[j]+sum[j]^2看做是yj，把2*sum[j]看成是xj。
说明g[j,k]=(yj-yk)/(xj-xk)<sum[i]代表这j的决策比k的决策要更优。

若k<j<i且g[i,j]<g[j,k]，则j点永远不可能成为最优解。
分三种情况讨论：
设当前点为a
1.如果g[i,j]与g[j,k]均小于sum[a]，则i比j优，j比k优
2.如果g[i][j]与g[j,k]均大于sum[a],则k比j优，j比i优。
3.如果g[i][j]<sum[a]且g[i][j]>sum[a]，则i比j优，k比j优。
不论如何，j都无法成为最佳决策点，所以可以排除j。
于是，所有的决策点满足一个下凸包性质。

设k<j<i。
由于我们排除了g[i,j]<g[j,k]的情况，所以整个有效点集呈现一种下凸性质，即g[i,j]>g[j,k]。
这样，从左到右，斜率之间就是单调递增的了。当我们的最优解取得在j点的时候，那么k点不可能再取得比j点更优的解了，于是k点也可以排除。换句话说，j点之前的点全部不可能再比j点更优了，可以全部从解集中排除。

1，用一个单调队列来维护解集。
2，假设队列中从头到尾已经有元素a b c。那么当d要入队的时候，我们维护队列的下凸性质，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就将c点删除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]为止，并将d点加入在该位置中。
3，找最佳决策点时，设当前求解状态为i，从队头开始，如果已有元素a b c，当i点要求解时，如果g[b,a]<sum[i]，那么说明b点比a点更优，a点可以排除，于是a出队，直到第一次遇到g[j,j-1]>sum[i]，此时j-1即为最佳决策点。

Code:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int Max = 500000;int N, M;int sum[Max + 5], Q[Max + 5], Dp[Max + 5];bool getint(int & num){    char c; int flg = 1;    num = 0;    while((c = getchar()) < '0' || c > '9'){        if(c == '-')    flg = -1;        if(c == -1) return 0;    }    while(c >= '0' && c <= '9'){        num = num * 10 + c - 48;        if((c = getchar()) == -1)   return 0;    }    num *= flg;    return 1;}int nume(int j, int k){ return Dp[j] + sum[j] * sum[j] - Dp[k] - sum[k] * sum[k];}int deno(int j, int k){ return 2 * (sum[j] - sum[k]);}int Get_Dp(int i, int j){return Dp[j] + M + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]);}int main(){    while(getint(N) && getint(M)){        //Dp[0] = sum[0] = 0;        for(int i = 1; i <= N; ++ i)    getint(sum[i]), sum[i] += sum[i - 1];        int fro = 1, bac = 0;        Q[++ bac] = 0;        for(int i = 1; i <= N; ++ i){            while(fro < bac && nume(Q[fro+1], Q[fro]) < sum[i] * deno(Q[fro+1], Q[fro]))                ++ fro;            Dp[i] = Get_Dp(i, Q[fro]);            while(fro < bac && nume(i, Q[bac]) * deno(Q[bac], Q[bac-1]) <= nume(Q[bac], Q[bac-1]) * deno(i, Q[bac]))            //while(fro < bac && nume(i, Q[bac-1]) * deno(Q[bac], Q[bac-1]) <= nume(Q[bac], Q[bac-1]) * deno(i, Q[bac-1]))                -- bac;            Q[++ bac] = i;            //判断进队的时候必须有"="号，假设现在有i和j的斜率与j和k斜率相等，我们必须把j删除，因为可能在k之前还有点p，使得k也可以被删除，而删除掉j并不会使答案变坏。            //以上这种判断出队的方法是建立在图像的基础上的，目的是维护一个下凸包，所以将g[i ,j]与g[j, k]比较            //而建立在g[i,j]的定义上，还可以写成另一种，因为目的是维护下凸，所以只是要判断当i进入队列后，队尾的值是不是最优的（即下凸）            //那么完全可以直接比较g[i, j]和g[i, j-1]的斜率，这样更直观，也是正确的，但同样存在"="的问题。可以写成上方注释掉的代码。            }        printf("%d\n", Dp[N]);    }    return 0;}