婚姻稳定性问题的理论分析及其引申

现代文明社会恋爱自由，婚姻自主。现代婚姻不用再像过去那样需要承载太多恋爱双方意愿以外的东西，自由独立理性的现代男女总能爱得勇敢而轰烈。儿女私情本只是人们茶余饭后的谈资，却竟有好事者曾对此大作理论文章。诚然，斤斤计较地揣摩感情实在有些不人道，但好事者们严谨的分析和有趣的结论实在值得一看，况且从多一个角度去诠释与演绎人之常情也未尝不可，各位就权当有此一说吧。

好事者们是从这样一个例子开始的。假设你是开婚姻介绍所的，现在有（适龄）客户男女各一百人找你帮忙撮合。客户们显然有备而来，男方每个人都交给了你一份女方名单，上面的名字都按他个人的喜爱偏好排好了序：小希最好、小贝也不赖、小欣嘛......对等地，女方每个人手里也有像这样排好了序的男方名单--当然，这些偏好顺序是不可能都相同的，每个人的喜好和要求是不可能都相同的，他（她）最喜欢的另一个可能不感冒，另一个喜欢的他（她）看到了要晕倒--现在你的任务就是要按照这些名单尽可能让客户们尽可能满意地撮合每一对，直到所有人都找到了自己的对象。

达成你目的最经济的办法就是搞个大party，把他（她）们集中起来，搞个集体配对活动，既有气氛又有效率。当然你得先约法三章：一、爱情具有排他性，我们这里是一夫一妻制的，所以每个客户在整个配对过程中都只能追求（接受）一个人，一脚踏数船是不允许的。二、整个过程都要男方先行动，这是合乎传统和社会共识的，“女士们请保持矜持。男子汉们，要勇敢点！”三、每个人都得严格按自己提交的偏好顺序名单决定和选择，不能朝三暮四、优柔寡断。

重申纪律后，配对就可以开始。为了避免场面混乱，你安排活动以回合的形式进行，并告诉男女主角们，在每个配对回合过后只要有人还是单身，party还会继续，所以每个人最后都会有结果的。好了，第一回合开始，男士们先行动，每位男士首先向自己最喜欢的女孩求婚。喧闹过后，女孩们就分成了两堆（起码逻辑上）：有男士求婚的眉开眼笑，还没有男士求婚的楚楚可怜。这时到女方行动了，女孩们的选择就看自己是多少人的最爱：如果只有一个人向她求婚，她肯定（先）接受，与他订婚；如果有一个以上的男士向她求婚，也不要让高兴冲昏了头脑，女孩应该在向她示爱的人里面挑她自己最喜欢的那个与他订婚（也就是要挑在偏好名单里尽量排前的那个人，这个人有很大可能不是名单里最前面的那个--她心里最爱的那个！）；如果没有人求爱的呢？咳咳，也不用灰心，这只表示她不是所有人的第一选择（其实这样也够惨的），将来还是会有人欣赏的。好了，大家选择完毕后，第一回合结束。理论上会有这样的结果，所有的女孩都订婚了，没有人被落下，这表示所有的男孩最喜欢的人里面没有重复，男孩们都找到了自己最喜欢的，彼此间不用竞争，这是最好的结果（是对谁最好的结果呢？），搞个集体婚礼，任务完成。但这样一个回合就皆大欢喜的概率会有多大呢？很多情况下，还是会有一部分男生要尝尝被拒绝的痛苦，同时一部分女生要感受被冷落的滋味。

紧接着，第二回合开始。还是男士们先行动，不过这次只能由那些在上个回合中求爱失败的男孩参加（在上个回合中他被他最喜欢的女孩拒绝了，因为那女孩选择了在她看来比他更好的人）。勇敢的男孩们继续努力，向他第二喜欢的女孩发动攻势，而不论这个女孩是否已经订婚了！（自由竞争嘛）。这一次同样地，女生们要挑个自己最喜欢的，但有一点与第一回合不同，有些女生已经有未婚夫了。已经有未婚夫的这些女生要更冷静，因为她要作出选择：如果觉得还是原来那个未婚夫最好，她应该在这个回合拒绝所有的骚扰，继续她的小幸福；但如果认为后来者中有更优秀，她就应该把之前的那个甩了而接受这次她认为最好的那个人（好狠啊）；那些才是第一次有人示爱的女孩呢？还用问吗？挑个最好的吧。总之，不论哪种情况，女生都要按照自己的偏好顺序“择优录取”、“合理取舍”。大家都选定后第二回合结束。大多数情况下，男女双方还是会各分为了两个帮派的--名草有（无）主帮、名花有（无）主派。值得注意的是，男生光棍帮中的人员会有出入，一部分人由于找到自己所爱（应该说是他被自己所爱接受了）而脱离了帮派，同时有一些刚被女朋友甩出来的悲情人物加入了行列。

好了，像前面所述，只要还有人是单身的，活动就得继续。之后每个回合的安排都跟第二回合相同，在上一轮被拒被甩的男生不断向他次一级喜欢的女生求婚，剩下的女生不断有人挑走，男生光棍帮人员进进出出......直到所有人都订了婚，活动结束。值得大家注意的是，在这样一个配对过程里，男生求爱对象的顺序是他最喜欢的、第二喜欢的、第三喜欢的、......，即每一次追求的都是男生次一级喜欢的；而女生每一次改变男朋友都是因为她找到了更喜欢的。

我们的问题来了，这样的配对过程就真的一定会结束吗？所有人到最后都有对象了吗？配对的结果如何？

首先考虑第一个问题。严格的论述应该用集合论和图论来分析，但未免太那个，所以这里就只用简单一点的数学来说明吧。注意现在的情况是男女数量相等且非无穷大，配对过程中无论每个回合里面人员怎样流动，已订婚的男生与已订婚的女生的人数是相等的（夫妻是一男一女对应的嘛），而且只要某个女生订了婚，她在以后的回合中都会保持订婚的状态的（当然未婚夫的具体人选是不定的），即已订婚的人数是非减的（活动不允许已订婚的情侣在配对过程中分手--除非有人加入竞争，但这不影响已订婚情侣的数量，充其量是这个人代替了那个人），从而未订婚的人数非增，即无主的女生的“供给”是有限的。对于单身男士的“求婚需求”，每个回合剩下的单身女孩的数量是非增的，只要时间足够，所有的女孩都是会找到归宿的；最不济的男生求爱的次数最多也不会超过女生的数量，所以这个配对过程终究是会结束的。

对于第二个问题，我们假设活动结束了最后还剩下一个男孩小东和女孩小希没有对象，这可能吗？不可能，大家记住，只要一个女生被挑中了，在后面她就不会再空窗。女孩小希到最后还是单身表示她很可能不受其他的男生欢迎，但由于她的名字在小东的偏好排序名单里的某一处，小东在整个过程中肯定会在某个阶段接触过她，哪怕是在最后一轮，从而他们俩应该（早）是一对的。所以说配对活动过后所有人都是会找到对象的，没有人会被落下。

对于第三个问题，我们有一个值得注意的结论，就是这些男女的结合肯定是稳定的，但只会是单方最优，而且是男方最优（male optimal）。大家可能很奇怪也很失望，何谓“稳定”？怎会是男方最优呢？

先说“稳定性问题”。假设我们经过配对后最终产生了这样两对情侣：（男）小东和（女）小希，（男）小楠和（女）小贝，但事实上比起小希小东更喜欢小贝，与此同时比起小楠小贝更希望跟小东在一起（这种情况我们称之为配对结果的不“稳定”），这可能吗？也不可能。因为如果比起小希小东真的是更喜欢小贝，按照排序他肯定会先向小贝示爱的，但为什么最后他们不能在一起呢？这只能是，或者小贝后来找到了比小东更好的而把小东给甩了，又或者小贝当时就已经有了比小东更好的男朋友。请注意，女生改变男朋友只有在后来者更优秀时才会发生，所以小贝在最后找到的小楠肯定会比之前碰到过的小东好，所以说前面的假设是不存在的，配对后所有的情侣都是稳定的。但要注意，稳定只在配对结果中发生，不稳定的组合在配对过程中是存在的（某些文献称之为“弱稳定”组合）。

最后说说“男方最优”。如前面所述，男生每一回合求爱的对象都是他次一级喜欢的，而女生她每改变一个男朋友都向她自己最喜欢的那个迈进了一步，按此推论双方最优肯定是不可能的了，那也应该是女方最优吧？事实上并不是。举一个简单的例子，又拿小东他们来说，假设（男）小东、（男）小楠、（女）小希，和（女）小贝这四人，其中小东最喜欢的是小希，小楠最喜欢的是小贝，但女生们不这样认为，小希喜欢的是小楠，而小贝喜欢的是小东。配对开始后由于男方先动，小东马上找到了小希，小楠马上挑走了小贝，所有人都找到了对象，配对结束！这对于男生们是最好的结果，对于女生们来说却是伤心和唏嘘。这就是前面所说，如果第一个回合就解决了战斗，得益的只会是男生们。所以我们的结论是主动的男生们总能找到尽可能好的心上人，被动的女生总是有可能被较不喜欢的人追上。这个大家如果觉得有点难以接受，可以这样理解：虽然男生每个回合都要降低自己的要求，但由于起点高（从最喜欢的开始），只要每个回合都是主动的，就算他被前面10个女生拒绝了，他总能找到后面90里面最好的那个；而女生由于被动，虽说她每换一个男朋友就向自己的最爱上升一层，但由于起点可能过低，如果没过多久排前20名的男生们都找到了挚爱，她最厉害也只能无可奈何地接受第21名的那位。也就是说，主动的一方在这样安排的配对（matching）中是占优的（active optimal），而被动的一方是处于劣势的（passive pessimal）；也就是说传统的求爱过程是男方占优（male optimal）的，就由于是男方主动。

看到这里女孩们也不要生气，聪明的你们或许会注意到上面的讨论中男女双方的地位其实是对等的，之间的地位是可以互换的。女方也可以是主动的，如果你想得到心头最爱的话。这个故事就是要告诉我们，要最好的自己一定要争取，特别是MM们，想得到好GG自己就得主动了。

需要说明的是，以上只是传统婚姻配对的一个假想模型，可能会有人质疑模型的假设条件和推导过程，但没有人会怀疑问题的真实存在性与现实意义。事实上，我们的生活就普遍存在着与婚姻配对类似的问题，而且这些配对的结果都与我们息息相关，如学生升读大学的问题（高中毕业生与各高校的配对）、单位内人员岗位调动问题（人员与岗位的配对）等。而借用上篇婚姻配对假想模型的分析过程和结论，我们就可以对这些现实问题作出适当的解析，对相关的政策作出适当的评价，同时分析实际问题的过程也可以让我们找到解决上篇中婚姻配对理论难题的现实方法的参考。

现在让我们观察另一个在现实中存在的典型的配对问题，求职。求职市场上有着求职者与雇佣公司两方，双方双向选择，自由竟争。一般情况下，求职者会主动向每间公司申请职位，雇佣公司则在收到求职者们的申请后择优录取。也就是说，在求职市场上，求职者是主动的一方，雇佣公司是被动的一方。在其他条件都如上篇假设那样的话，根据上篇的一个的重要结论，配对过程中主动选择的一方占优，求职过程岂不是总体上对求职者有利，对雇佣公司却不利？难道求职者总能找到自己满意的职位，而公司总要在不情愿下接受较差的员工？但我们看到的事实却并非如此，而是每家公司都能找到自己需要的员工，倒是有些求职者要在不情愿的情况下接受工作。那问题出在哪里呢？

看来我们要考虑得再仔细点。与婚姻配对中的一样，在求职之前，主动方求职者们也会主动收集招聘公司的情况，并形成对这些公司的不同偏好排序，然后会按照这些排序去应聘。如果求职者们对每间公司的偏好排序都不同，而且与婚姻配对中的一样，每一轮的配对都在双方数量对等的情况下进行时，这很自然地会形成婚姻配对中“需求方选择”、“主动方有利”的情况；但事实上，求职过程中主被动双方的数量是不等的，而且多数情况是求职者众而职位寡。可以想象，当每一轮的配对要在少数几间公司和大量甚至全部的求职者之间进行时，则会造成以下的结果：这些公司总可以找到最好的求职者，而求职者们大多会失望。这种情况的一方面是由于实际的工作职位数量总大大地小于求职者的数量，另一方面是由于求职者们对于所谓的好公司都有着相似的标准，这两者都会造成在每一轮配对中需求大于供给，从而形成“供给方（被动方）选择”的结果。所以说，需求偏好的趋同性与需大于供是造成配对中“供给方选择”、“被动方有利”的原因。一个极端的例子，假设市场中所有的求职者都有相同的偏好排序：A公司最好、B公司次好、C公司第三、......则每一轮的配对中，所有求职者都会去应聘同一间公司，完全可以想象这是对谁最有利；而当求职者的数量大于公司的数量时，则排最后一名的公司也能选到剩下的求职者中最好的那一个，而不管也许这个求职者是最讨厌这家公司的。

需求偏好的趋同意味着需求方有着共同的偏好排序，在求职市场的例子中就是求职者对每间招聘公司有着相同的评价（或类似的评价），这时如果让求职者们对这些公司打分并将分数按公司各自累加，可以想象这些公司的分数会是较明显的阶梯状分布的，分数最高的公司就是求职者公认最好的公司，相应地，这间公司将很大可能在配对中找到最好的应聘者--当然也有可能由于最好的应聘者并不认为这间公司最好的而把他（她）的第一个申请给了另一家公司（总分最高并不意味着所有人都认为它最好）。但如果每一轮招聘都只让少数家公司招聘，则这个最好的应聘者将很大可能让这间公认最好的公司挑走（这个配对结果对应聘者不利）。极端的情况是如果每一轮都只有一间公司招聘，则这应聘者必然是该公司的新员工。我们从另一个角度看，公司比其他公司得分高，说明在人们心里这间公司在与其他公司的比较中更有地位，这时配对的结果将会对它更有利；同样地，应聘者中的佼佼者也总能在配对中获得满意的结果（只要他（她）的偏好与其他人相比不至于太过特别的话）。也就是说，如果你在自己的一方中越有竞争力，排名越靠前的话，你就越有可能在最后获得对自己有利的结果。在这里，配对双方内部的竞争（排名）成为了影响配对结果的关键。要注意的是，如果有客观方（求职者与公司以外的其他人）合理作出了类似的评价和评分，则人们作出选择时会更多地参考这些评价，需求偏好的趋同性将会得到加强。（在学生升读高校的情况中，人们选择高校的顺序是基于社会评价的，而高校对于学生的评价则是基于统一的水平考试——高考的。）

从上面的分析我们可以有以下结论：影响配对结果的因素有三个，第一是配对双方的相对数量，第二是配对双方各自的内部竞争结果，第三是配对双方的主动性。如果配对的双方数量相若的话，主动性会成为决定配对结果对谁有利的关键；如果配对双方的数量不等，则配对双方各自间的竞争结果将取代主动性成为影响结果的关键因素。而合理安排配对过程中双方数量将使对双方都有利的结果的实现成为可能。但无论如何配对，如果双方数目是有限的，则配对的结果到最后将会是稳定的。

这时让我们再次回到婚姻配对的问题中。这次我们这样安排配对过程：让男女双方都对对面的每一个人作出评分，然后将每人得到的分数简单相加并排序，从而得到每个人受欢迎程度的排名。第一回合，我们只让女方中最受欢迎的“大众情人”出来接受求婚，则她将在第一轮配对中接受所有男士的追求，很显然，她将得到她最想要的那个人；第二回合，我们只让女方中第二受欢迎的女士出现，同样地，她也将得到了她的幸福；如下回合类似地安排，可以预期，这样的配对结果很大程度上是对双方都有利。我们的问题终于解决了。当然，绝对“双方满意”的结果只能是很大可能成立，如果还有人不满意，我还有办法。我们一直不允许已配对的双方在配对过程中在没有第三者插入的情况下分开，如果我们引入“悔婚”机制，即允许在配对过程中已配对的双方自主分离，则双方的主动性将会增加，可以想象结果对于双方将会更美好，这时就算不断加入竞争者，配对的结果都会是令双方满意的。同样地，在求职配对的过程中引入“毁约”机制会有同样效果（高考有吗？）。但这些已经大大超出我们的讨论了，有兴趣的请补充。

后记：婚姻配对问题最早在60年代由两位美国数学家提出并用集合论严格定义了相关概念而且证明了最优解解集非空，其后的理论分析文章比较少见，在我所及范围内只找到了三篇，学科范围横跨数学集合论、制度经济学及计算机算法设计（图论）。而有位周姓科学家在这问题上也有建树，但本人未能在免费的渠道找到。据称现在还没有一个严格的算法是可以解决这个问题的。本文前一部分有关婚姻配对过程的显浅说明与分析是借用了美国哥伦比亚大学计算机科学学系的Harry Mairson教授的文章，大家可以在下面的链接找到原文。其他相关文章到google sholar上面找吧。

Harry Mairson教授的原文：http://www.cs.columbia.edu/~evs/intro/stable/writeup.html