Variance Shadow Maps

1.Shadow Mapping

Shadow mapping是一种two pass的阴影算法，首先从光源的视角渲染出一张深度图depthMap；然后再从camera的角度渲染整个场景，把每一个pixel都投影到depthMap中，然后和depthMap texel中的深度去比较，判断当前pixel是否在阴影中。Shadow mapping的算法是逐像素级的，因此会在边缘留下锯齿的走样痕迹；Shadow mapping算法产生的是一种硬阴影，没有半阴，阴影到非阴影的过渡不真实。Donnelly和Lauritzen就提出了一种阴影软化的方法。

2. Variance Shadow Maps

Variance Shadow Maps算法和标准的Shadow Mapping算法很接近，Variance Shadow Maps算法把depth和depth²存储在depthMap中，然后在特定的区域滤波，获得了深度分布在区域的一阶和二阶矩：

M1=E(x)=∫∞−∞xp(x)dxM2=E(x2)=∫∞−∞x2p(x)dx

从M1,M2可以计算出这个分布的期望和方差：

μ=E(x)=M1σ2=E(x2)−E(x)2=M2−M21

通过应用切比雪夫不等式，可以得出随机变量x大于当前深度值t的一个概率上限：

P(x≥t)≤Pmax(t)=σ2σ2+(t−μ)2

这个概率可以看做比率，表示光照射到当前像素的比率，可以直接用在渲染方程中，避免了像素被完全照亮。在计算概率时，为了避免一些数值问题最好给方差一下下限，下面是计算概率的片元着色器代码：

float chebyshevUpperBound(float distance,vec2 texCoord){    vec2 moments = texture(shadowMap,texCoord).rg;    //片元不在阴影里    if (distance <= moments.x)        return 1.0;    //计算片元在阴影里的最大概率上届    float variance = moments.y - (moments.x*moments.x);    variance = max(variance, 0.00002);    float d = distance - moments.x;    float p_max = variance / (variance + d*d);    return p_max;}

2.1 Biasing

Variance shadow map针对shadow biasing问题提供了一种优雅的解决方法，使用二阶矩来表示每个像素上深度的变化范围，考虑每个像素上深度在各个方向的范围复杂度比较高，仅仅考虑在局部平面上的分布，由一下参数方程表示：

f(x,y)=μ+x∂f∂x+y∂f∂yM2=μ2+14(∂f∂x)2+14(∂f∂y)2

当光线和面垂直的时候上述公式就变成了深度的平方，通过opengl自带的偏导数函数可以很容易的计算出M2，一下是增加biasing的vertex shader的代码：

in vec4 v_position;out vec4 outColor;void main() {    float depth = v_position.z / v_position.w;    depth = depth * 0.5 + 0.5;    float moment1 = depth;    float moment2 = depth * depth;    float dx = dFdx(depth);    float dy = dFdy(depth);    moment2 += 0.25*(dx*dx+dy*dy);    outColor = vec4( moment1, moment2, 0.0, 0.0);};

2.2 Light Bleeding

Variance shadow maps的一个潜在问题就是光线渗透问题，即在场景的遮挡关系比较复杂的时候软阴影出现的位置错误，如下图的红圈所示：

出现这个问题是由于切比雪夫不等式计算的只是一个概率上界，并不是精准的概率，从切比雪夫不等式可以得出只有当红色区域的深度值远远大于对应depth中的μ 时，概率才为0。Gpu Gems3中提到一种方法，即当概率小于某个min值的时候，就把概率设为0,来降低影响。

2.3 Numeric Stability

在存储depth和depth²的时候最好使用线性的深度值，而不是opengl默认的深度值，当光源距离场景非常远时depth和depth²的精度损失非常大，使得方差的计算变得不稳定，使用线性的深度值，精度的损失与光源到场景的距离无关，方差的计算更加稳定。因此最后使用光源空间的深度值。

实现代码

基于opengl的实现代码