POJ 1286 Necklace of Beads （Polya定理）

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POJ 1286

题意：就是求这样的三种颜色的组合有多少种？旋转和对称的重复的不算。

题解：Polya定理题。主要考虑旋转和对称的情况。

旋转：

当n=4时，可顺时针旋转0、1、2、3格
0格：（1）（2）（3）（4）可以互相转化
1格：（1,2,3,4）可以互相转化
2格：（1,3）（2,4）可以互相转化
3格：（1,2,3,4）可以互相转化
所以，ans=(34+31+32+31)4=24

旋转：顺时针旋转i格的置换中，循环的个数为gcd（i，n），每个循环的长度为n/gcd(i,n)

同理，当n=5时，ans=(35+31+31+31+31)5=51。

对称：

当n=4时，有4条对称轴
其中2条，（1,2）（3,4）可以互相转化
另外2条，（1）（3）（2,4）可以互相转化
ans=(2∗32+2∗33)4=18
当n=5时，有5条对称轴
每一条，（1）（2,5）（3,4）
ans=(5∗33)5=27
以此类推。
最终ans=（旋转+对称）2。
所以就可以写代码了。

代码：

//#include <bits/stdc++.h>#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll q_pow(ll a,ll b){    ll ans =1;    while(b)    {        if(b&1){            ans=(ans*a);        }        b>>=1;        a=a*a;    }    return ans;}ll n;ll gcd(ll a,ll b){    return b==0?a:gcd(b,a%b);}int main(){    while(~scanf("%lld",&n))    {        if(n==-1)break;        if(n==0){            puts("0");continue;        }        ll ans = 0;        if(n&1)        {            ans += q_pow(3,n/2+1)*n;        }        else        {            ans +=q_pow(3,n/2+1)*(n/2) + q_pow(3,n/2)*(n/2);        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            ans +=q_pow(3,gcd(i,n));        }        cout<<ans/(2*n)<<endl;    }    return 0;}