数学分析八讲笔记（二）

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数学分析八讲

连续统

1. 函数的定义域不仅取决于该函数的性质也取决于某些特定的实际问题，往往特殊情况需要特殊处理。

2. 函数在其上发展且展现其个别特点的域，场地——函数在其中才能成为自然科学和技术的强大数学武器的载体——都是所有实数的集合，此集合称为连续统(确切的说是线性连续统)。

   我们说必须建立完整的实数理论才能研究连续统

3. 无理数的构造——在构造新数时，基本的解析运算——极限过程，起首要主导的作用，所遇到的种种方法都应该归结于它，看作是它的特殊情况。我们普遍采用戴德金分割原理。

   起源：第一次数学危机——2√的不可度量

4. 连续统理论——如若仅仅引入了构造无理数的原则并没有解决连续统理论。首先，我们还要对连续统进行排序。其次，各种原来的(定义在数集R上的)定律我们需要重新来过。而最重要的是:正因为数集R缺乏连续性和稠密性，我们才引入了无理数。那么现在又是否能保证我们定义的连续统具有这个特性呢？因此，我们需要证明的便是:连续统的任何分割都有也属于连续统本身的界限

   我们说集合R缺乏这种连续性，是基于:此集合中具有一类不属于R的界限。

5. 证明

   设(A,B)​是连续统的任意一个分割。从而对于任意实数，或者属于​A类，或者属于​B类。于是连续统的分割(A,B)就直接导出了集合R的某个完全确定的分割​(A′,B′)。设​α是作为分割(A′,B′)的界限的一个实数。现在我们来证明，它也是分割​(A,B)​的界限，从而证明我们的命题。现在需要证明：任何实数​α1<α都属于​A类，而任何α2>α都属于B类。显然只需证明前半部分即可。设​r是介于​​α1和​α2之间的有理数。因为​r<α1，则有

   r∈A′⊂A
   而因​α1<r，则因此可以得出也有​α∈A。得证。

   无论α1是有理数还是无理数

基本引理

毫无疑问我们要不惜时间和精力，尽可能掌握可能多的这些引理。其中的每一个各有作用，能够给工作和学习带来本质上的便利。

关于单调序列的引理

引理 1

任何单调有界序列必有极限事实上如果没有掌握全部的实数，这个”公理”就是不成立的。

引理 1′

若变量x增加且趋近于α，并且函数f(x)在某个以点a为其右端点的区间上有界且单调，则当x→a时，f(x)趋近于确定的极限

闭区间套定理

引理 2

如果一个序列是一个收缩的区间套，则存在唯一的实数α属于所有的这人区间

有限覆盖定理

引理 3

如果开区间组M覆盖了区间[a,b]，则从中可以分出一个有限的开区间组M′,M′也覆盖区间[a,b]

事实上，如若不能有限覆盖，采取反证法并结合收缩区间套易证。

现在我们不仅学会了建立数学分析的基础，而且有了三个最重要的辅助命题，准备好了以此为基础用于进一步构建基本的数学大厦。

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