25th Sept 2014:《数学分析八讲读书笔记》

缘起

说来实在惭愧，因为是半路出家转学的统计学，在大学时并没有上过数学分析，而是上的高等数学，在偷学一些跟数理统计相关课程的时候总是感觉有些理论部分理解起来比较吃力，遂有了学一遍数学分析的念头，无奈天资平平，对我来说自学数学类课程难度有点大，而且数学分析中有很大一部分是高等数学中已经学过的内容，认认真真从头学一遍的兴趣实在不大，近日为了保研被迫学习起来，在图书馆找相关类书籍时偶然发现了辛钦这本《数学分析八讲》，看上之后爱不释手，以至于虽然早早就知道自己与清北的统计学无缘后也没有放弃读完这本书，而是坚持粗线条地看了下来，记下与读者分享。

这本书适合什么样的人读呢？

非常适合像我这样已经学过一些微积分的知识的人，但是没有接触过分析学思想的工程师、经济学者等。你可能可以毫不费力地解出一些函数的不定积分，但是却不太习惯[ δ ε ]语言。该书抽去了很多公式与解题方法单纯将数学分析的精华思想剥离出来，让你有随时保持一种新鲜感.

全书目录

• 连续统
• 极限
• 函数
• 级数
• 导数
• 积分
• 函数的级数展开
• 微分方程

其中第5章可以略过，第2&3章也可以大致浏览没有太多有价值的东西。
连续统讲得非常精彩，虽然我们从小就在一步一步地从自然数走到了复数域，对real line应该说已经是很习惯了，但是这本书中详细地讲述了实数轴到底是怎么变成了我们今天这个样子，它是怎么构造出的。里面穿插着解释了代数数和超越数，极限与超越数的关系，最后用分割的方法定义了real line，然后给出了数分中很重要的三个引理，收缩区间套引理和海涅-伯雷尔引理非常实用，在实变函数中会再学到。
极限、函数一章分别给大家强调了无穷与有限情况的思维差别，以及函数本质上只是隐射不一定要显示表达式，我想大家应该都理解。
级数这章也讲得非常精彩，特别推荐学统计的同学好好阅读，这里面的知识确实解答了我在渐进理论中很多的疑惑。比如，数理统计中矩的存在，比如期望的存在为什么要求的是级数绝对收敛而不是条件收敛或者什么的。因为我在没有看这本书之前确实把无穷级数看成了类似于有限项多项式的和的拓宽。而且以前总是会把收敛中的一致收敛，依分布收敛等收敛方式搞混，其实这些就是级数的特殊应用，看这一章对渐进理论的收获应该是很大的。(各位不要笑话我数学渣渣= =#)
积分我个人认为是数学中最美的几个理论之一，只从实变中讲了勒贝格积分之后脑洞更是大开，觉得积分思想果然是妙不可言。这章说了黎曼可积的条件以及与微分学的关系，并不是所有初等函数的积分还是初等函数，这跟微分还是有很大差别的。
函数级数的展开这一章也是比较实用的，因为众所周知展开在数值分析和分析收敛速度等等很多方面都有很重要的地位，在这一章也是学到了一点东西，比如幂级数对应的原函数不唯一但是三角级数在函数族中确实封闭的，值得一看
因为本身就打算好好学一下微分方程知识，所以就没有再去翻这一章了(明明就是嫌这章符号太多看不进去嘛。。。)
所以如果让我推荐章节，我觉得看看1.4.6.7就好了:)