数据结构——二叉搜索平衡树

二叉搜索平衡树（AVL树）
1、AVL树引入
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
2、AVL树概念
空树是AVL树；
或者具有以下性质的二叉搜索树：（1）它的左右子树都是AVL树
（2）左子树和右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1、0、1)如

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(lgn)，平均搜索时间复杂度O(lg(n))

3、平衡化旋转
单旋转(左单旋&右单旋)和双旋转(先左后右双旋&先右后左双旋）
如果在一棵原本是平衡的二叉搜索树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。
左单旋
插入点位于ptr的右子节点的右子树–右右
右单旋
插入点位于ptr的坐姿结点的左子树–左左
先左后右双旋
插入点位于ptr左子节点的右子树–左右
先右后左双旋转
插入点位于ptr右子节点的左子树–右左

4、AVL树的实现
（1）插入
在向一棵本来高度平衡的AVL树中插入一个新节点时，如果树中某个结点的平衡因子的绝对值>1，则出现了不平衡。设新插入结点为P，从结点P到根节点的路径上，每个结点为根的子树的高度都可能增1，因此在每执行一次二叉搜索树的插入运算后，都需从新插入的结点P开始，沿该结点插入的路径向根节点方向回溯，修改各结点的平衡因子，调整整棵树的高度，恢复被破坏的平衡性质。
在AVL树中插入结点P(key)结点算法：
步骤一：如果是空树，插入后即为根节点，插入后直接返回
步骤二：如果树不空，寻找插入位置，若在寻找的过程中找到key，则插入失败直接返回
步骤三：插入结点
步骤四：更新平衡因子，对树进行调整
新节点P的平衡因子为0，但其双亲结点Pr的平衡因子有三种情况：
1.结点Pr的平衡因子为0
在Pr的较矮的子树上插入新节点，结点Pr平衡，其高度没有增加，此时从Pr到根路径上各结点为根的子树的高度不变，即各结点的平衡因子不变，结束平衡化处理。
2.结点Pr的平衡因子的绝对值为1；
插入前Pr的平衡因子为0，插入后以Pr为根的子树没有失去平衡，但该子树的高度增加，需从该结点Pr向根节点方向回溯，继续查看Pr的双亲结点的平衡性。
3.结点Pr的平衡因子的绝对值为2
新节点在较高的子树插入，需要做平衡化处理：
若Pr = 2，说明右子树高，设Pr的右子树为q
当q的平衡因子为1，执行左单旋转
当q的平衡因子为-1，执行先右后左双旋转
若Pr = -2，说明左子树高，设Pr的左子树为q
当q的平衡因子为-1，执行右单旋转
当q的平衡因子为1，执行先左后右双旋转
旋转后Pr为根的子树高度降低，无需继续向上层回溯
（2）删除
从AVL树中删除一个节点，首先必须检测该结点是否存在，若存在删除该结点之后可能会破坏AVL树的高度平衡，因此需要做平衡化旋转。
被删除的结点P存在以下情况：
1、被删除的结点P有两个孩子
首先搜索P在中序遍历中的直接前驱q(或直接后继)。再把结点q的内容传送给P，问题由删除节点P转移到删除节点q，它是只有一个孩子的结点。
2、被删除的结点P最多只有一个孩子q
把P的双亲结点Pr中原来指向P的指针该指向q；如果P没有孩子，直接将Pr的相应指针置为NULL。然后将原来以Pr为根的子树的高度减1，并沿Pr通向根的路径反向追踪高度的变化对路径上的各个结点的影响。