数据结构—二叉搜索树

二叉搜索树概念

      什么是二叉搜索树，在我看来二叉搜索树相对于二叉树最大的区别在于：二叉搜索树中的任意节点x，其左节点的关键字都小于x.key,其右节点的关键字都大于x.key。由该性质可以对二叉搜索树有三种遍历方法。

      先序遍历：先输出根节点的关键字，而后输出左子树的关键字，最后输出右子书的关键字。

      中序遍历：先输出左子树的关键字，而后输出根节点的关键字，最后输出右子树的关键字。

      后序遍历：先输出左子树的关键字，而后输出右子树的关键字，最后输出根节点的关键字。

如下图所示：

                                                                 

先序遍历：7，3，18，10，8，11，22，26

中序遍历：3，7，8，10，11，18，22，26

后序遍历：3，8，11，10，26，22，18，7

查询二叉树

二叉树的查询包括关键字查询，最大值、最小值查询，前驱和后驱的查询，其中关键字，最大值、最小值查询比较简单，重点介绍一下后驱的查询方法。

查找二叉树节点x的后驱会出现如下三种情况：

1.当节点x存在右孩子时，我们只需要查找以右孩子为树节点的树，关键字最小的节点，该节点则为节点x的后驱。

2.当节点x右孩子为空时，且该节点x为父节点的左孩子，则节点x的后驱为该父节点。

3.当节点x右孩子为空时，且该节点x为父节点的右孩子，则节点x的后驱为上层祖先。

伪代码如下：

TREE-SUCCESSOR(x)

if x.right!=NUL

return TREE_MINIMUM(x.right)

y=x.p

while y!=NULL and x==y.right

x=y

y=y.p

return y

tree_node* tree_successed(tree_node *x)//查找节点x的后驱{if(x->right!=NULL)//情况一，假设存在右子树{return tree_min(x->right);//查找右子树的最小值}while(x->parent->left!=x)//情况2、3，假设没有右子树，则为父节点或者上层父节点{x=x->parent;}return x->parent;}

插入和删除

插入操作相对于删除操作简单，插入只需要找到关键字所处的位置，并修改相应指针即可，具体代码如下：

void tree_insert(tree_node *x,tree_node *z)  //二叉树插入一个节点{tree_node *y=NULL;while(x!=NULL){y=x;if(x->data>=z->data){x=x->left;}else{x=x->right;}}z->parent=y;if(y->data>z->data){y->left=z;}else{y->right=z;}z->left=NULL;z->right=NULL;}

对于删除操作，是二叉搜索树的重点，也需要分成四种情况讨论：

1.节点x无孩子，即x为叶节点，直接将其用空节点替换就可以。

2.节点x存在一个孩子，则直接将孩子替换该节点，并修改相应节点属性。

3.节点x两个孩子都存在，但是节点x的后驱节点为节点x的右孩子，由二叉搜索树的性质可以知道后驱节点肯定没有左孩子，故直接将节点x的右孩子替换节点x，并修改相应节点（左孩子节点，父节点）的属性。

4.节点x两个孩子都存在，但后驱节点不为节点x的孩子，则通过后驱查找函数找到该节点y，由于后驱节点y没有左孩子，则可以用后驱节点y的右孩子替换后驱节点y，后驱节点y替换待删除节点x，并修改相应节点的属性。

具体情况如下所示：

情况1：

                                                                      

情况2：

                                                                                                

情况3：

                                                                                     

情况4：

                                                                                               

上图中所有删除节点都为z

删除具体代码如下：

void tree_transplant(tree_node *u,tree_node *v)//节点v代替节点u{ if(u->parent->left==u){u->parent->left=v;}else{u->parent->right=v;}if(v!=NULL)//防止指针v为空{v->parent=u->parent;}/*if(u->left!=NULL)//容易自己指向自己，造成死循环{v->left=u->left;u->left->parent=v;}if(u->right!=NULL){v->right=u->right;u->right->parent=v;}*/}void tree_delete(tree_node *x,tree_node *y)//删除节点y{tree_node *z,*successed;z=tree_search(x,y->data);if(z->left==NULL)//左孩子为空{tree_transplant(z,z->right);}else if(z->right==NULL)//右孩子为空{tree_transplant(z,z->left);}else//存在两个孩子{if(z->right->left==NULL)//情况3{tree_transplant(z,z->right);z->right->left=z->left;z->left->parent=z->right;}else//情况4{successed=tree_successed(z);tree_transplant(successed,successed->right);successed->right->left=successed->left;//将左孩子的属性更正successed->left->parent=successed->right;tree_transplant(z,successed);successed->left=z->left;z->left->parent=successed;}}}