动态规划题目

想兑换100元钱，有1,2,5,10四种钱，问总共有多少兑换方法。

下面提供两种实现方式，其中代码注释的很清楚。

关于动态规划的基本原理，参考：

http://www.cnblogs.com/sdjl/articles/1274312.html

2. 递归解法

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1. //动态规划   
2. #include<iostream>  
3. using namespace std;   
4.   
5. const int N = 100;    
6. int dimes[] = {1, 2, 5, 10};    
7. int arr[N+1] = {1};    
8.     
9. int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解  
10. {    
11.     if (n == 0)    //跳出递归的条件  
12.         return 1;    
13.     if (n < 0 || m == 0)    
14.         return 0;    
15.     return (coinExchangeRecursion(n, m-1) + coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m));    
16.     //分为两种情况，如果没有换当前硬币，那么是多少？加上，如果换了当前硬币，总值减少，此时又是多少种兑换方法？  
17. }  
18.   
19. int main()  
20. {  
21.     int num=coinExchangeRecursion(N, 4);   
22.     cout<<num<<endl;   
23.   
24.     int num2=coinExchange(N);   
25.     cout<<num2<<endl;   
26.   
27.     return 0;   
28.   
29. }  

3. 非递归解法

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1. //动态规划   
2. #include<iostream>  
3. using namespace std;   
4.   
5. const int N = 100;    
6. int dimes[] = {1, 2, 5, 10};    
7. int arr[N+1] = {1};    
8.   
9. int coinExchange(int n)   //非递归实现  
10. {    
11.     int i, j;    
12.     for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++)   //i从0 ~ 3     因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次  
13.     {    
14.         for (j = dimes[i]; j <= n; j++)     
15.             //求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，  
16.             //对应着上面的递归方式：arr[j]就是coinExchangeRecursion(n, m-1)，  
17.             //arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)  
18.             arr[j] += arr[j-dimes[i]];    
19.           
20.     }    
21.     return arr[n];    
22. }    
23.   
24.   
25. int main()  
26. {  
27.     int num=coinExchangeRecursion(N, 4);   
28.     cout<<num<<endl;   
29.   
30.     int num2=coinExchange(N);   
31.     cout<<num2<<endl;   
32.   
33.     return 0;   
34.   
35. }  

    大家可以看出来，递归方式求解比较便于理解。当时，我们一定也要掌握非递归方式的实现，虽然它不太好想，例如上面的

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1. arr[j] += arr[j-dimes[i]];   

这一句。当时非递归方式的有效性是有目共睹的！