动态规划经典题目

1.最大连续子序列之和

题目描述：给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个， 例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。

解析：令sum[i]表示data[1:i]序列中的最大连续子序列之和，则其满足最优子结构。状态转移方程可以表示为sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])。

#include <stdio.h>#define MAXNUM100int main(){int i,n,sum(0),max(0);int data[MAXNUM];while (scanf("%d",&n)!=EOF){for (i=0; i<n; i++){scanf("%d",&data[i]);}max=data[0];for(i=0; i<n; i++){sum+=data[i];if(sum<data[i]){sum=data[i];}if (sum>max){max=sum;}}printf("%d\n",max);}return 0;}

2.最长公共子序列

题目描述：

        若给定序列X={x1,x2,...,xm},则另一序列Z={z1,z2,...,zk}是X的子序列是指存在一个严格递增下表序列{i1,i2,...,ik}使得对于所有j=1,2,...,k有zj=xij。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。

        当给定两个序列X和Y时，若序列Z即是X的子序列又是Y的子序列时，则称Z为X和Y的公共子序列。

        找出序列X和Y的最长公共子序列。

解析：令c[i,j]表示序列X[1:i]和Y[1:j]中最长公共子序列Z[1:k]的长度，则最优子结构为

若X[i]==Y[j],则Z[1:k-1]为X[1:i-1]和Y[1:j-1]的最长公共子序列

若X[i]!=Y[j]且Z[k]!=X[i]，则Z[1:k]为X[1:i-1]和Y[1:j]的最长公共子序列

若X[i]!=Y[j]且Z[k]!=Y[j]，则Z[1:k]为X[1:i]和Y[1:j-1]的最长公共子序列

根据最优子结构推出状态转移方程为

c[i,j]=0                                         if i==0||j==0

c[i,j]=c[i-1,j-1]+1                        if i>&&j>0&&X[i]==Y[j]

c[i,j]=max(c[i-1,j],c[i,j-1])          if i>&&j>0&&X[i]!=Y[j]

#include <stdio.h>#include <string.h>#define MAXNUM100char s1[MAXNUM];char s2[MAXNUM];int num[MAXNUM][MAXNUM];int vis[MAXNUM][MAXNUM];//用于追溯最长公共子序列 0表示相等，1表示(i-1,j),2表示(i,j-1)void printLcs(int i, int j);int main(){int n;scanf("%d",&n);while (n--){scanf("%s",s1);scanf("%s",s2);int i,j,len1,len2;len1=strlen(s1);len2=strlen(s2);for (i=0;i<=len1;i++){num[i][0]=0;}for (j=0;j<=len2;j++){num[0][j]=0;}for(i=1;i<=len1;i++){for (j=1;j<=len2;j++){if (s1[i-1]==s2[j-1]){num[i][j]=num[i-1][j-1]+1;vis[i][j]=0;}else{num[i][j]=num[i-1][j]>num[i][j-1]?num[i-1][j]:num[i][j-1];vis[i][j]=num[i-1][j]>num[i][j-1]?1:2;}}}printf("%d\n",num[len1][len2]);printLcs(len1,len2);printf("\n");}return 0;}void printLcs(int i, int j){if (i==0){return;}if (vis[i][j]==0){printLcs(i-1,j-1);printf(" %c",s1[i-1]);}else if (vis[i][j]==1){printLcs(i-1,j);}else{printLcs(i,j-1);}}

3.数字三角形

题目描述：给定一个具有N层的数字三角形，从顶至底有多条路径，每一步可沿左斜线向下或右斜线向下，路径所经过多的数字之和为路径得分，求解出最小路径得分。

解析：令d[i][j]表示从第n层到第i层的第j个节点的最小路径得分。状态转移方程可以表示为d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1])。

#include <stdio.h>#define MAXNUM100int triangleValue[MAXNUM][MAXNUM];int d[MAXNUM][MAXNUM];int main(){int n;while (scanf("%d",&n)!=EOF){int i,j;for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=i;j++){scanf("%d",&triangleValue[i][j]);}}for (i=1;i<=n;i++){d[n][i]=triangleValue[n][i];}for (i=n-1;i>=1;i--){for (j=1;j<=i;j++){d[i][j]=triangleValue[i][j]+(d[i+1][j]<d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]);}}printf("%d\n",d[1][1]);}return 0;}

4.01背包问题

题目描述：有N件物品和一个重量为M的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

分析：对于第i中物品存在着两种决策情况，一是放入背包中，另一中选择则是不放入背包中。令d[i][j]表示在前i种物品放入容量为j的背包中的最大价值，则其状态转移方程可以表示为d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i])。

#include <stdio.h>#include <string.h>#define MAXNUM101int w[MAXNUM];int v[MAXNUM];int d[MAXNUM][MAXNUM];int main(){int n,maxWeight;while (scanf("%d%d",&n,&maxWeight)!=EOF){int i,j;for (i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);}for (i=0;i<=n;i++){for (j=0;j<=maxWeight;j++){d[i][j]=0;}}for (i=1;i<=n;i++){for (j=0;j<=maxWeight;j++){if (j>=w[i]){d[i][j]=d[i-1][j]>(d[i-1][j-w[i]]+v[i])?d[i-1][j]:(d[i-1][j-w[i]]+v[i]);}elsed[i][j]=d[i-1][j];}}printf("%d\n",d[n][maxWeight]);}return 0;}/*输入多组测试数据。每组测试数据第一行输入，n 和 W ，接下来有n行，每行输入两个数，代表第i个物品的wi 和 vi。输出满足题意的最大价值，每组测试数据占一行。*/

5.硬币问题

题目描述：有5种硬币，分别是面值为【50、25、10、5、1】，给定一个总值n，请统计出使用上述五种硬币兑换总值的总兑换方法。

解析：对于硬币兑换问题，其总兑换方法次数可以由包括第i中面值硬币的兑换方法次数和不包括第i中硬币的兑换方法次数求和得到。令d[j]表示为总面值为j的兑换方法次数，对有无第i种硬币进行n个阶段的决策，则状态转移方程可以描述为：d[j]=d[j]+d[j-coin[i]]

#define MAXNUM7500int d[MAXNUM];int coin[6]={0,1,5,10,25,50};int main(){int n;d[0]=1;int i,j;for (i=1;i<MAXNUM;i++){d[i]=0;}for (i=1;i<=5;i++){for (j=1;j<MAXNUM;j++){if (j>=coin[i]){d[j]+=d[j-coin[i]];}}}while (scanf("%d",&n)!=EOF){printf("%d\n",d[n]);}return 0;}

6.最长递增子序列

题目描述：若给定序列X={x1,x2,...,xm},寻找出子序列X1{xi...xj...}使得i<j,xi<xj成立，且序列X1的元素个数最长。

分析：令d[i]表示最后一个元素为第i个元素的最长递增子序列元素个数，则状态转移方程表示为d[i]=max(1,{d[j]+1,(j<i,a[j]<a[i])})

#include <stdio.h>#include <string.h>#define MAXNUM10001char str[MAXNUM];int d[MAXNUM];int main(){int n;scanf("%d",&n);while (n--){scanf("%s",str);int len=strlen(str);int i,j;for (i=0;i<len;i++){d[i]=1;for (j=0;j<i;j++){if (str[j]<str[i]&&(d[j]+1>d[i])){d[i]=d[j]+1;}}}int maxNum=0;for (i=0;i<len;i++){if (d[i]>maxNum)maxNum=d[i];}printf("%d\n",maxNum);}return 0;}/*输入第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000*/