海塞矩阵的定义

来源：互联网发布：abb工业机器人编程指令编辑：程序博客网时间：2024/04/29 18:31

在数学中，海塞矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$

如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海塞矩阵即：

海赛矩阵就是指这样的一个矩阵，它的第i行第j列的那个元素，是f对第i个参数和第j个参数的交叉偏导

H(f)_ij(x) = D_iD_jf(x)

其中 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，即

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

二阶偏导数矩阵也就所谓的海赛矩阵(Hessian matrix)
一元函数就是二阶导，多元函数就是二阶偏导组成的矩阵
求向量函数最小值时用的，矩阵正定是最小值存在的充分条件。
经济学中常常遇到求最优的问题，目标函数是多元非线性函数的极值问题尚无一般的求解方法，但判定局部极小值的方法是有的，就是用海赛矩阵，是变量向量二阶偏导数构成的矩阵，矩阵正定是局部极小点的充分条件。

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