正定矩阵的定义与性质

同济大学线性代数第五版（咱们的线性代数教材）p133有关于正定矩阵的介绍

在线性代数里，正定矩阵 (英文：positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。

广义定义

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z'Mz > 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz>0。其中z'’表示z的转置。

特征及性质

正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：

1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即 |A|≠0。

2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。