The Linear Monge-Kantorovitch Linear Colour Mapping for Example-Based Colour Transfer 论文理解

The Linear Monge-Kantorovitch Linear Colour Mapping for Example-Based Colour Transfer论文理解

        背景:图像编辑中调色是很常用的，一点颜色差别就能造成照片的整体风格相差很大；在视频电影拍摄中也比较常用，譬如统一时间不同的光线拍出的感觉是有很大差别的。

早期有直接使用一对一颜色映射的方式，后来又提出了基于局部信息进行颜色分级的方法，以及本论文研究的基于示例的颜色统计信息匹配的线性变换方式。

        这篇论文针对所有的线性变换建立了一个通用的数学理论基础，并提出了一个新的线性变换方式（Linear Monge-Kantorovitch Linear Colour Mapping）MKL，这个方法能够最小的改变颜色数量。

线性变换的数学理论

   

        线性颜色映射主要就是找到合适矩阵T。

     （1）是计算变换后的图像：输入图像u颜色变换后的图像等于矩阵T乘以去均值后的输入图像，再加上示例图像v的均值。

     （2）矩阵T符合的要求：输入的图像u的协方差经过T的线性变换后等于示例图片v的协方差

        T的具体推导计算方式如下

       由上式可以得到TA = B，即T =BA-1 。

        A和B分别表示u的协方差Σu 和和v协方差Σv的平方根，由于Σu 和Σv的平方根有很多组，所以有目前有很多种线性变换方式，即有多个T的方式。

       上面表达式中TA = B，即TA和B都是Σv  的平方根，

各map均值、方差匹配

        输入图像u的协方差Σu = diag(var(u1), . . . , var(uN)) 

        示例图像v的协方差Σv = diag(var(v1), . . . , var(vN)) 

        T =BA-1 ，A和B分别表示u的协方差Σu和和v协方差Σv 的平方根。效果一般比较差，如果在LAB空间上效果会稍好些。

Cholesky 分解

        Σu = LuLTu，Σv = LvLTv。Lu 和 Lv是下三角矩阵，且对角元素都是正数。

      在不同的颜色空间上，出来的差别可能会比较大。

平方根分解（SRD）

         这个方法就是主成分分析的方法，把协方差的主要部分进行对齐。

         这个方法是将协方差矩阵分解成了对称正定矩阵。对称正定矩阵的对称正定平方根矩阵有唯一解。Dua和 Dv对角矩阵是由Σu and Σv的特征值组成。

Linear Monge-Kantorovitch （MKL）

        以上线性变换都存在一个问题：整个的颜色比例达到了期望，但是局部的颜色信息不太对。

        在之前的基本上进一步约束了最小位移。这个算法在不同的颜色空间上差别不是很大。