Number of permutation with K inversions

Given an array, an inversion is defined as a pair a[i], a[j] such that a[i] > a[j] and i < j. We are given two numbers N and k, we need to tell how many permutation of first N number have exactly K inversion.

给定一个数组，inversion被定义为a [i]，a [j]，使得[i]> a [j]和i < j。 我们给出两个数字N和k，我们需要计算出 N 个数的排列有多少个正好是K个inversion。

例如:
输入 : N = 3, K = 1
输出 : 2
Explanation :
全部的可能情况：
123, 132, 213, 231, 312, 321
符合条件的情况 : 132 and 213

输入 : N = 4, K = 2

输出 : 2

解法的伪代码如下：

If N is 0, Count(0, K) = 0If K is 0, Count(N, 0) = 1 (Only sorted array)In general case, If we have N number and require K inversion, Count(N, K) = Count(N - 1, K) +               Count(N – 1, K - 1) +               Count(N – 1, K – 2) +               .... +               Count(N – 1, 0)

其解法思想如下：

如果我们有N个数并希望有K个inversion，并且假设（N-1）个数的所有inversion写在某个地方，那么新数（第N个数，即最大的数）需要被置于（N-1）个数的所有inversion中，在我们的答案中应该加上那些inversion计数变为K后的组合。

简单的说就是将第N个数插入在前N-1个数的所有组合中，将inversion=k的情况相加。
下面给出了各个情况的示意图：
1. 前n-1个已经组成了inversions=k，则第n个只需要插入在最后。

2. 前n-1个已经组成了inversions=k-1，则第n个需要往前插 1 位，让inversions=k。

3. 前n-1个已经组成了inversions=k-2，则第n个需要往前插 2 位，让inversions=k。

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依次类推：

实现代码如下（c++）：

// C++ program to find number of permutation with// K inversion using Memoization#include <bits/stdc++.h>using namespace std;// Limit on N and Kconst int M = 100// 2D array memo for stopping solving same problem// againint memo[M][M];// method recursively calculates permutation with// K inversionint numberOfPermWithKInversion(int N, int K){    //  base cases    if (N == 0)        return 0;    if (K == 0)        return 1;    //  if already solved then return result directly    if (memo[N][K] != 0)        return memo[N][K];    // calling recursively all subproblem of    // permutation size N - 1    int sum = 0;    for (int i = 0; i <= K; i++)    {        // Call recursively only if total inversion        // to be made are less than size        if (i <= N - 1)            sum += numberOfPermWithKInversion(N-1, K-i);    }    //  store result into memo    memo[N][K] = sum;    return sum;}//  Driver code to test above methodsint main(){    int N = 4;    int K = 2;    cout << numberOfPermWithKInversion(N, K);    return 0;}

Output:

5