矩阵乘法的直观理解

对于矩阵A=[acbd]与矩阵B=[egfh]相乘，我们一般的做法是将左矩阵的行乘上右矩阵的列然后做加法，即：

C=A∗B=[ae+bgce+dgaf+bhcf+dh]

但是这样并不直观，你无法理解矩阵中的每一项元素对最后矩阵结果的影响。
在MIT的Linear Algebra的公开课中，Gilbert教授介绍了另外一种理解矩阵乘法的思路。
设矩阵A=[2817],现要对矩阵A进行行列的消元，得到对角矩阵，那么可以用矩阵的乘法来实现。

1.左乘变换矩阵，将A化为上三角矩阵

[1−401][2817]=[2013]

对原矩阵左乘一个矩阵，可以表示对原矩阵的行进行操作，即

1[21]+0[87]=[21](1)

−4[21]+1[87]=[03](2)

由(1)(2)式可知，结果的第一行由原矩阵的第一行和第二行与变换矩阵第一行的第一个元素和第二个元素对应相乘再相加得到。所以变换矩阵实际表示的是对原矩阵行相加的系数。另外，矩阵A左乘一个行向量，其结果位于矩阵A的row space，因为左乘一个行向量的操作相当于对矩阵A的行进行线性组合。

2.右乘变换矩阵，将上三角矩阵化为对角矩阵
下面我们对1中得到的矩阵[2013]继续进行变换，使其变为对角矩阵。这里我们不再对行进行操作，而是对列进行操作。

[2013]⎡⎣10−121⎤⎦=[2003]

类似的，对原矩阵右乘一个矩阵，可以表示对原矩阵的列进行操作，即

1[20]+0[13]=[20](3)

−12[20]+1[13]=[03](4)

由(3)(4)式可知，结果的第一列由原矩阵的第一列和第二列与变换矩阵第一列的第一个元素和第二个元素对应相乘再相加得到。所以变换矩阵实际表示的是对原矩阵列相加的系数。与上面类似，矩阵A右乘一个列向量，其结果位于矩阵A的column space。

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最后，矩阵A行列变换可以写为如下形式：

[1−401]A⎡⎣10−121⎤⎦=[2003]