递归分治-递归

递归的概念

直接或者间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出的定义的函数称为递归函数。递归的应用是相当规范的， 也易于理解。只是要讲问题抽象成使用递归来解决，这是一个比较困难的过程。

阶乘函数

阶乘函数的定义：
n!=

{1,n(n−1)!,n=0n>0

阶乘函数的自变量n 的定义域是非负整数。递归式的第一个式给出了这个函数的初始值，是非递归定义的。每个递归函数都必须有非递归定义的初始值，否则，递归函数就无法进行计算。
计算该函数的时间复杂度，基本如下：
T(n)=T(n-1)+1
经过计算，得到T(n)=O(n)
代码如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int RecurFunction(int n);int main(){    int num=0;    printf("Please input a num:");    scanf("%d",&num);    if (num<0)    {        printf("the data is not allowed\n");    }    int result = RecurFunction(num);    printf("The %d 的阶乘为%d\n",num,result);    return 0;}//递归定义的函数int RecurFunction(int n){    if (n ==0)    {        return 1;    }    else     {        return (n*RecurFunction(n - 1));    }}

Fibonacci数列
无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……，称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
F(n) =

⎧⎩⎨1,1,F(n−1)+F(n−2),n=0n=1n>1

代码实现如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int  Fabonacci(int n);int main(){    int num = 0;    printf("Please input a num:");    scanf("%d", &num);    if (num<0)    {        printf("the data is not allowed\n");    }    int result = Fabonacci(num);    printf("The Fabonacci(%d)为 %d\n", num, result);    return 0;}int  Fabonacci(int n){     if (n == 0 || n == 1)    {        return 1;    }    else    {        return Fabonacci(n - 1) + Fabonacci(n - 2);    }}

全排列

在高中数学里，我们都学过全排列，其计算公式为A_n^n（n表示全排列的元素个数），比如“123”，其全排列就有6种，分别是“123”、“132”、“213”、“231”、“312”、“321”。那么在编程中如何体现出该公式呢？
算法中这样定义该类问题：设R={r_(1, ) r_(2,) r_3……}是要进行排列的n个元素，R_i=R-{r_i}。集合X中的元素的全排列记为Perm(X).(r_i)Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀r_i得到全排列。R的前排列定义可归纳定义如下：
当n=1时，Perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素；
当n>1时，Perm(R)是由（r_1）Perm(R_1), （r_2）Perm(R_2), （r_3）Perm(R_3)……（r_n）Perm(R_n)构成。
所以其递归实现如下（代码是看的网上的：http://blog.csdn.net/caigen1988/article/details/7760177）
代码实现如下：

//全排列的递归实现   #include <stdio.h>   #include <string.h>   void Swap(char *a, char *b){    char t = *a;    *a = *b;    *b = t;}//k表示当前选取到第几个数,m表示共有多少数.   void AllRange(char *pszStr, int k, int m){    if (k == m)    {        static int s_i = 1;        printf("  第%3d个排列\t%s\n", s_i++, pszStr);    }    else    {        for (int i = k; i <=m; i++) //第i个数分别与它后面的数字交换就能得到新的排列          {            Swap(pszStr + k, pszStr + i);            AllRange(pszStr, k + 1, m);            Swap(pszStr + k, pszStr + i);        }    }}void Foo(char *pszStr){    AllRange(pszStr, 0, strlen(pszStr) - 1);}int main(){    printf("         全排列的递归实现\n");    printf("  --by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )--\n\n");    char szTextStr[] = "1234";   //字符串存储到字符数组中    printf("%s的全排列如下:\n", szTextStr);    Foo(szTextStr);    return 0;}

递归实现的算法复杂度：T(n)=n*(C+T(n-1))
其中C表示执行交换函数的复杂度，其与问题规模无关，故用常数表示。
经过计算，T(n)=n!
上述算法并未实现去重效果，故去重的全排列如下：
其中关键就是：需要从第一个数字起每个数分别与它后面非重复的数字进行交换。（参见http://blog.csdn.net/caigen1988/article/details/7760177）
代码如下：

//去重全排列的递归实现     #include <stdio.h>     #include <string.h>     void Swap(char *a, char *b)    {        char t = *a;        *a = *b;        *b = t;    }    //在pszStr数组中，[nBegin,nEnd)中是否有数字与下标为nEnd的数字相等    bool IsSwap(char *pszStr, int nBegin, int nEnd)    {        for (int i = nBegin; i < nEnd; i++)            if (pszStr[i] == pszStr[nEnd])                return false;        return true;    }    //k表示当前选取到第几个数,m表示共有多少数.     void AllRange(char *pszStr, int k, int m)    {        if (k == m)        {            static int s_i = 1;            printf("  第%3d个排列\t%s\n", s_i++, pszStr);        }        else        {            for (int i = k; i <= m; i++) //第i个数分别与它后面的数字交换就能得到新的排列            {                if (IsSwap(pszStr, k, i))                {                    Swap(pszStr + k, pszStr + i);                    AllRange(pszStr, k + 1, m);                    Swap(pszStr + k, pszStr + i);                }          }        }    }    void Foo(char *pszStr)    {        AllRange(pszStr, 0, strlen(pszStr) - 1);    }    int main()    {        printf("         去重全排列的递归实现\n");        printf("  --by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )--\n\n");        char szTextStr[] = "122";        printf("%s的全排列如下:\n", szTextStr);        Foo(szTextStr);        return 0;    }