第1章 事件的概率

1.1 概率是什么

试验与事件

事件不是指已发生了的情况，而是值某种情况的“陈述”。发生与否，要等有关“试验”有了结果以后才能知晓。
基本事件指单一的试验结果。一个或一些基本事件并在一起，就构成一个事件。

古典概率

设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含其中的M个结果，则事件E的概率，即为P(E)，定义为：

P(E)=N/M

1.2 古典概率的计算

排列组合的几个简单公式

(1) n个相异物体取r (0≤r≤1)个的不同排列总数，为：

Pnr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)

(2) n个相异物体取r (0≤r≤1)个的不同组合总数，为：

Cnr=Pnrr!=n!r!(n−r)!

也记作(nm)
(3) (nm)又叫做二项式系数：

(a+b)n=∑i=0n(nm)aibn−i

可以推导出：

(m+nk)=∑i=0k(mi)(nk−i)

(4) n个相异物体分成k堆，各堆物件数分别为r1,⋯,rk的分法是：

n!r1!⋯rk!

1.3 事件的运算、条件概率与独立性

事件运算的目的是希望能够用简单事件的概率来计算复杂事件的概率。
对数字进行运算得出新的数字，对事件进行运算得到新的事件。

事件的蕴含、包含和相等

当A发生时，B 必发生，则称A蕴含B，也成B包含A，记作A⊂B，若A和B相互蕴含，则称A和B相等，记作A=B。A和B相等无非是说，他们包含的试验结果是一样的，只不过在事件上的说法不同罢了。

事件的互斥和对立

若两事件在同一次试验中不可能同时发生（可以都不发生），则称它们为互斥的。若一些事件中任意两个都互斥，则说他们是两两互斥的，简称互斥的。
互斥事件的一种重要的情况是对立事件，也成为“补事件”，若A为一事件，则“A不发生”即为A的对立事件，记为A¯¯¯。

事件的和（或称并}

设有两个事件A和B，定义一个新的事件如下：

C={A发生，或B发生}={A,B至少发生一个}

记为

C=A+B

注意这里并没有涉及到概率，只是事件C在逻辑上的表示。

概率的加法定理

若A1,A2,⋯是互斥的，则：

P(A1+A2+⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯

>

P(A¯¯¯)=1−P(A)

事件的积（或称交）、事件的差

设有两个事件A和B，定义一个新的事件如下：

C={A,B都发生}

记为

C=AB

设有两个事件A和B，定义一个新的事件如下：

C={A发生,B不发生}

记为

C=A−B

由以上的定义可知：

AB¯¯¯=A−B

注意这里并没有涉及到概率，只是事件C在逻辑上的表示。

定律：

A+B=B+AAB=BA(AB)C=A(BC)A(B−C)=AB−AC

条件概率

当说到“条件概率”时，总是指另外附加的条件，其形式总可归结为“已知某事件发生了”。

设有两个事件A，B，而P(B)≠0，。则“在给定B发生的条件下A的条件概率”，即为P(A|B)，定义为

P(A|B)=P(AB)/P(B)

事件的独立性，概率乘法定理

若P(A)=P(A|B)，则说明B的发生对A的发生没有影响，称A，B两事件独立。

若两个事件A，B满足下式：

P(AB)=P(A)P(B)

则称A，B独立。

推广到多个事件的情况：

设A1,A2,⋯为有限或无限个事件。如果从其中任意取出有限个Ai1,Ai2,⋯,Aim都有：

P(Ai1Ai2⋯Aim)=P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aim)

则称A1,A2,⋯相互独立，简称独立。

独立事件的任一部分也独立。由独立事件决定的事件也独立。但是若两事件中有相同的基本事件，则不独立。

若一系列事件A1,A2,⋯相互独立，则将其中任一部分改为对立事件时，所得事件列仍为相互独立。

在面对一个复杂情况时，主要方法是冷静地分析，以设法把它分拆成一些互斥的简单情况。

全概率公式和贝叶斯公式

设B1,B2,⋯为有限或无限个事件，它们两两互斥，即：

BiBj=∅(不可能事件)(i≠j)

B1+B2+⋯=Ω(必然事件)

将这一组事件称为一个完备事件群。

全概率公式：

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+⋯

可以把 Bi 看做是导致A发生的一种途径。

贝叶斯公式：

P(Bi|A)=P(ABi)P(A)=P(ABi)∑jP(Bj)P(A|Bj)

全概率公式可以看成是“由原因推结果”，而贝叶斯公式则恰好相反，其作用在于“由结果推原因”。