机器学习-周志华-个人练习13.2

13.2 试基于朴素贝叶斯模型推导生成式半监督学习算法

回顾一下，朴素贝叶斯的假设是xi=(xi1,…,xin)中的所有xij相互独立，结合贝叶斯公式可知，我们的目标是找到一个ck∈C，最大化下式：

p(ck∣xi)=p(ck)p(xi∣ck)(1)

此时的ck即为该样本xi的分类，即：

h(xi)=argmaxckp(ck)p(xi∣ck)=argmaxckp(ck)⋅∏j=1Np(xij∣ck)(2)

假定各个类别与一个混合模型中的独立成分一一对应，混合模型的参数为Θ，则上式可以写为：

h(xi)=argmaxkp(θk)⋅∏j=1Np(xij∣θk)(3)

令

Θk=p(θk),Θxij∣j,k=p(xij∣θk),xij∈Ajk(4)

其中Ajk表示第k类样本在属性j上所有可能的取值的集合，则：

h(xi)=argmaxkΘk⋅∏j=1NΘxij∣j,k(5)

此时，将 Dl 中第 k 类样本的集合记为lk，Du 中用伪标记分类的第 k 类样本的集合记为u∗k，lk 中第 j 个属性取值为xij的集合记为lk,xij，u∗k 中第 j 个属性取值为xij的集合记为u∗k,xij，我们可以对Θk,Θxij∣j,k进行参数估计：

Θ^kΘ^xij∣j,k=|lk|+|u∗k|+1|l|+|u∗|+|C|,=|lk,xij|+|u∗k,xij|+1|lk|+|u∗k|+|Ajk|(6)(7)

基于上述参数估计方法，可构建如下算法：

• 输入：有标记数据Dl和未标记数据Du；
• 只使用Dl，利用(6),(7)计算出朴素贝叶斯模型的初始参数Θ^(0)k,Θ^(0)xij∣j,k，并令u∗k=∅

• 循环，当Θ^(m)k,Θ^(m)xij∣j,k≠Θ^(m+1)k,Θ^(m+1)xij∣j,k时：

  • E-step: 将Θ^(m)k,Θ^(m)xij∣j,k带入式(5)获取所有样本xi∈Du的伪标记c∗i，并令D∗u={(xi,c∗i)}

  • M-step: 利用更新后的D∗u，结合Dl，利用(6),(7)计算出朴素贝叶斯模型的参数Θ^(m+1)k,Θ^(m+1)xij∣j,k

• 输出：Θ^k,Θ^xij∣j,k，朴素贝叶斯分类器h(x)，已完成分类的D∗u。