平衡查找树之2-3查找树

二叉查找树不能保证树的平衡性，在最坏情况下，查找插入操作需要线性时间。
为了保证查找树的平衡性，有了2-3树的概念。
它是实现红黑树的基础。

2-3树中有两种结点：

• 2-结点（标准二叉查找树中的结点）
• 3-结点（两个键和3个链接）3-结点中左键<中键<右键

当插入结点时，通过一些基本操作，可以保证这棵树是完美平衡的，因此查找和插入的时间会是对数级的。

插入过程有如下几种可能性：

• 向2-结点中插入新键
  当查找结束于一个2-结点，直接将此2-结点变为3-结点，并将键保存在其中。

• 向一棵只含有3-结点的树中插入新键
  先将它变为一个4-结点，然后将中键变为左右键的父结点，这样就变为3个2-结点。

• 向一个父节点为2-结点的3-结点中插入新键
  还是先将3-结点变为4-结点，将中键移至父结点中，使父节点变为一个3-结点。

• 向一个父节点为3-结点的3-结点中插入新键
  类似上一种情况，只不过父结点变成了4-结点，将4-结点分解为2个2-结点，中键继续向上传递。

局部变换不会影响树的全局有序性和平衡性，这是理解这个算法的关键。

为什么不直接用代码实现2-3树呢？

因为要有下面这些操作：

• 维护两种不同的结点（2-结点和3-结点）。
• 要将被查找的键和结点中每个键进行比较（如果是3-结点的话）。
• 将链接和其他信息从一个结点复制到另一个结点（中键向上传递和分解结点时）
• 将结点从一种数据类型转换为另一种数据类型。（2-结点3-结点相互转换）

这些操作产生的额外开销可能使算法比标准二叉查找树更慢。
为此，我们用红黑树来实现。