HDU-4549(矩阵快速幂+欧拉定理)
来源:互联网 发布:mac 标志发亮 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 06:51
题意:
F[0] = a, F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] (n > 1)现在给出a, b, n,你能求出F[n]的值吗?
思路:
将F[n]推到F[0], F[1]可发现F[n]能表示成两个连续斐波那契数次幂的F[0]和F[1]的乘积:F[n] = F[0]^(n-1)*F[1]^(n)。矩阵快速幂求出斐波那契数, 然后普通快速幂求出F[n]即可。
但会发现一个问题,假设k很大,x^k和x^(k%mod)是不等价的,所以求斐波那契数会很大存不下,也不能直接模mod。
需要利用下面的定理:
欧拉定理:x^ϕ(m) ≡ 1(mod m)
若m是素数,x为整数且无法被m整除,则就是费马小定理:x^(m-1) ≡ 1(mod m)。
则可得定理:
若a^b mod m 中b很大,则可转化为
a^b(mod m) = a^[b mod(m-1)](mod m);
证明如下:
令b = t*(m-1) + r; 其中t = b整除(m-1), r = b%(m-1);
则a^b = [a^(m-1)]^t * a^r (mod m);
= 1^t * a^r (mod m);
= a^r (mod m);
费马小定理的推广:如果p为质数,x^p-x(x是任意正整数)必能被p整除. (x^p-x = x*(x^(p-1) - 1);)
Code:
#include <bits/stdc++.h>#define LL long longusing namespace std;const LL mod = 1000000007;struct node{LL a, b, c, d;};int a, b, n;pair<LL, LL> pr;node multi(node a, node b){node ans;ans.a = (a.a*b.a + a.b*b.c)%(mod-1);ans.b = (a.a*b.b + a.b*b.d)%(mod-1);ans.c = (a.c*b.a + a.d*b.c)%(mod-1);ans.d = (a.c*b.b + a.d*b.d)%(mod-1);return ans;}void quickM1(int b){node ans, base;ans.a = ans.d = 1; ans.b = ans.c = 0;base.a = base.b = base.c = 1; base.d = 0;while(b){if(b&1) ans = multi(ans, base);base = multi(base, base);b >>= 1;}pr.first = ans.a, pr.second = ans.b;}LL quickM2(int a, LL b){LL ans = 1, base = a;while(b){if(b&1) ans = ans*base%mod;base = base*base%mod;b >>= 1;}return ans;}int main(){ios::sync_with_stdio(0);while(cin >> a >> b >> n){if(n == 0) cout << a << endl;else if(n == 1) cout << b << endl;else{quickM1(n-1);cout << quickM2(b, pr.first)*quickM2(a, pr.second)%mod << endl;}}return 0;}
继续加油~
证明来自:http://www.cnblogs.com/cmyg/p/6647977.html
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