HDU 4549 (费马小定理+矩阵快速幂+二分快速幂)

M斐波那契数列

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Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下： 

F[0] = a 
F[1] = b 
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据； 
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

0 1 06 10 2

 

Sample Output

060

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

题意如题。

题解：解题过程中会发现a和b的指数是斐波那契数列，b的指数是f[n]，a的指数是f[n-1]。

　　　构造{Fn+1,Fn,Fn,Fn-1}的矩阵，当n=1的时候是{1,1,1,0}，单位矩阵为{1,0,0,1}。

　　　利用矩阵快速幂可以求出a和b的指数，在这个过程中还要用到费马小定理。

　　　费马小定理:x的y次幂对M取模，如果M为素数且x和M互素，可以将y对(M-1)取模后再将结果对M取模。

　　　即如果p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。

　　　然后求a的an次幂和b的bn次幂的乘积并取余，分别利用二分快速幂即可。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;#define mod  1000000006#define mod2 1000000007typedef long long ll;struct matrix{    ll data[2][2];};matrix I= {1,0,0,1};matrix multi(matrix a,matrix b){    matrix c;    memset(c.data,0,sizeof(c.data));    for(int i=0; i<2; i++)        for(int j=0; j<2; j++)            for(int k=0; k<2; k++)            {                c.data[i][j]+=(a.data[i][k]%mod)*(b.data[k][j]%mod);                c.data[i][j]%=mod;            }    return c;}matrix pow(matrix a,ll b){    matrix ans=I;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans=multi(ans,a);            b--;        }        b>>=1;        a=multi(a,a);    }    return ans;}ll pow2(ll a,ll b){    ll ans=1;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans*=a;            ans%=mod2;            b--;        }        b>>=1;        a*=a;        a%=mod2;    }    return ans;}int main(){    ll aa,bb,an,bn,n;    while(scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&n)!=EOF)    {        matrix a= {1,1,1,0};        matrix ans;        ans=pow(a,n);        bn=ans.data[0][1];        an=ans.data[1][1];        //cout<<"a: "<<an<<"  b: "<<bn<<endl;        ll ans2=((pow2(aa,an)%mod2)*(pow2(bb,bn)%mod2))%mod2;        printf("%lld\n",ans2);    }    return 0;}